
- •1. Функции от матриц.
- •2. Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра
- •3.Скелетное разложение матрицы: лемма о ранге, лемма о существовании и неединственности скелетного разложения
- •5. Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.
- •6. Теорема о единственности псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
- •7. Свойства псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
- •8. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений с использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
- •9. Нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений.
- •12. Сопряженное пространство и его базис
- •13. Ортогональное дополнение сопряженного пространства
- •14. Сопряжённое отображение
- •15. Унитарные и ортогональные матрицы. Их свойства
- •16. Критерии унитарности матрицы
- •17. Унитарное подобие.
- •18. Теорема Шура об унитарной триангуляризации матриц
- •19. Спектральная теорема для нормальных матриц
- •20. Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Их свойства. Эрмитово разложение
- •21. Критерии эрмитовости матрицы
- •22. Теорема Рэлея-Ритца
- •23. Сингулярное разложение матриц
- •24. Полярное разложение матриц
- •25. Векторные нормы. Непрерывность векторных норм
- •26. Эквивалентностьвекторныхнорм
- •27. Матричные нормы
- •28. Согласованные и подчиненные векторные и матричные нормы.
- •29. Число обусловленности.
- •30. Сходимость матриц
- •31. Теорема Гершгорина
- •32. Уточнение оценок собственных значений с помощью преобразования подобия.
- •33. Локализация собственных значений Неравенство Шура. Теорема Бендиксона.
- •34. Локализация собственных значений Теорема Гирша. Теорема Брауна.
- •35. Невырожденность матриц.
- •36. Неотрицательные и положительные матрицы, их свойства.
- •37.Сравнение спектральных радиусов неотрицательных матриц
- •38.Теорема Перрона (с доказательством)
- •39.Теорема Перрона-Фробениуса
- •40.Теорема Фань-Цзы.
- •41.Примитивные и импримитивные матрицы.
- •42.Стохастические матрицы.
- •1. Функции от матриц.
- •2. Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра
- •3. Скелетное разложение матрицы: лемма о ранге, лемма о существовании и неединственности скелетного разложения
- •21. Критерии эрмитовости матрицы
28. Согласованные и подчиненные векторные и матричные нормы.
Определение. Матричная норма ||•||M называется согласованной с векторной нормой ||•||V , если
||A||V≤ ||A||M ||x||V (1) для любой матрицы A и всех векторов x.
Определение. Пусть задана векторная норма ||•||V. Тогда числовая функция
(2)
называется нормой матрицы, подчиненной (индуцированной) векторной норме ||•||V.
Теорема
(Подчиненная
векторная норма).
Функция (2) определена и является
согласованной нормой в
для любых норм в Cm
и Cn.
Теорема.Для подчиненной матричной нормы справедливо
||Ax||≤||A||||x||, ||E||=1
Доказательство
Следствие. Матричная норма ||•||M , подчиненная векторной норме ||•||V, согласована с этой нормой.
Матричная норма, подчиненная векторной норме ||•||∞
Получим оценку сверху для величины ||Ax||∞
||Ax||∞
.
Покажем, что эта оценка достигается.
Пусть максимум по i имеет место при i=l. Возьмем x=(sign(al1),…,sing(aln)).
Имеем
и точные равенства во всей цепочке выше.
Таким образом,
подчиненная
векторной норме ||•||∞
29. Число обусловленности.
Определение. Величина
(1)
называется числом обусловленности матрицы A по отношению к матричной норме ||•||.
Свойства числа обусловленности
10. Для любой матричной нормы cond(A)≥1.
20. Для любой матрицы A и любого числа α выполняется равенство cond(A) =cond(αA).
30. Для спектральной и евклидовой норм число обусловленности не меняется при умножении матрицы слева и справа на любую унитарную матрицу.
40. Для 1-, 2-, ∞-норм и евклидовой нормы число обусловленности не меняется при перестановке строк и столбцов.
50. Для спектральной нормы число обусловленности любой матрицы равно отношению максимального сингулярного числа к минимальному.
30. Сходимость матриц
Определение.
Матрица
А называется
сходящейся, если
Лемма.
||•||:
||A||<1
.
Доказательство.
||Ak||≤||A||k→k→0
0
Ak→||•||0
Ak→||•||∞0
Теорема.Матрица
является
сходящейся тогда и только тогда, когда
.
Доказательство
.Пусть
Ak→0.Рассмотрим
собственный вектор x≠0:
Ax=λx.
Тогда
A2x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ2x…Akx=λkx→0
.
Обратно
||
||:||A||<1
Ak→k→∞0
Следствие.
31. Теорема Гершгорина
Теорема Гершгорина
и ее следствия. Для произвольной матрицы
AЄ
обозначим
-
строчная почти-нормы, а также
- столбцовые почти
– нормы матр. А.
Наиболее полезная и легко применяемая теорема, дающая оценка для собственных значений – теоремы Гершгорина.
Теорема Гершгорина (строчная).Все собственные значения матрицы A заключены в объединении n кругов
Кроме того, если объединение k из этих кругов есть связная область, не пересекающаяся с остальными n−k кругами, то в ней находится ровно k собственных значений матрицы A.
Теорема (Гершгорина (столбцовая)). Все собственные значения матрицы AЄ принадлежат объединению nкругов (столбцовой области Гершгорина)
Кроме того, если k из этих кругов образуют область, изолированную от остальных n-k кругов, то в ней находится ровно kсобственных значений матрицы А.