7.Непрерывность элементарных функций.

1)Непрерывность функции a^x, a>0.

Справедливо равенство .

a) Если a>1, обозначим ,a=(_n+1)ⁿ > n_n, _n<a/n , следовательно _n – б.м..

Замечание. Отметим, что точно также можно доказать равенство . Именно, ,n=(_n+1)ⁿ > ,_n<,следовательно _n – б.м..

b) Если a <1,то ,b > 1.

Докажем, что (непрерывность в0 функции a^x ).

1 a> 1

Пусть {x_k} последовательность типа Гейне для 0+0, то есть x_k0, x_k>0. Можно считать, что x_k < 1. Для последовательности целых частей дроби будут выполнены неравенства . Откуда, в частности, следует, что n_k+ и далее, переходя к пределу приk , получим требуемое равенство.

Аналогично рассматривается случай x 0 - 0. Из существования и равенства односторонних пределов следует доказываемое утверждение .

2Еслиa<1, тоb^x=1/a^x, b=1/a > 1.

2) Функция a^x непрерывна в точке x_{0 .} Это следует из равенства .

3). Функция y=log_ax непрерывна, как обратная к непрерывной строго монотонной функции x=a ^y .

4). Степенная функция y=x^. Докажем непрерывность при x>0. Имеем x^=e^{ ln x}, далее теорема о непрерывности суперпозиции.

5).

суперпозиция непрерывной и имеющей предел функции. Аналогично доказывается, что

6) =ln a,

a^x - 1=y, x=log_a(1+y),

x 0  y 0,

= ln a.

Пример 1. .

Пример 2. .

Отдельно вычислим пределы и

=======a^a ,

==a^aln a .

=a^a(ln a + 1).

Пример 3. .

Отдельно вычислим пределы и

==a^a ln a ,

=-= ==-a^a.

= a^a(ln a - 1).

7)

(1+x)^ - 1=y,  ln(1+x) = ln(1+y)

8) Непрерывностьsin x.

|sin x –sin x₀|=2 |x-x₀|.

Непрерывность cos x = sin(x+/2).

Непрерывностьtg x, ctg x, arcsin, arcos, arctg, arcctg.

9) f=const, x, многочлен P_n(x)= , .

8.Равномерная непрерывность.

Функция f(x), определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если

x,xX,|x-x|<:|f(x)-f(x)|<

Непосредственно из определения следует, что всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна на этом множестве.

Обратное, вообще говоря, неверно. Однако справедлива теорема

Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a,b] функция f равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство. От противного.

₀>0>0 u,v [a,b],|u-v|<:|f(u) - f(u)|₀. Для=1/n  u_n,v_n,| u_n-v_n|<1/n:

|f(u_n) - f(v_n)|₀ (1)

По теореме Больцано-Вейрштрасса  =x₀[a,b], тогда и = x₀. В силу непрерывности функции, . Таким образом

, что противоречит (1).

Глава 4 Дифференциальное исчисление

§1 Производная

1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости.

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀.

Терминология

x=x - x₀ – приращение аргумента.

y= f =f(x) - f(x₀) – приращение функции.

Определение. Производная в точке x₀ определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f(x₀)==.

Обозначения для производной

Лейбниц, f(x₀) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x₀) Коши.

Аналогично определяются односторонние производные f(x₀+0), f(x₀-0).

f(x₀+0)= , f(x₀ - 0)=.

Теорема. Для существования f(x₀) н. и д. существования обеих односторонних производных f(x₀+0), f(x₀ - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы для односторонних пределов.

Если f существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f (x).

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x₀ называется дифференцируемой в точке x₀, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

f = f(x) - f(x₀) = A(x - x₀)+o (x – x₀), xx₀

Теорема. Для существования f (x₀) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x₀.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

 A  .

Замечание. Отметим, что A= f (x₀).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки (x₀ , f(x₀ )), (x , f(x )) графика, при x x₀ называется касательной к графику функции f(x ) в точке x₀

=arctg=arctg f(x₀).

Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено равенство ,

. Сравнить с определением дифференцируемости в точке .

Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x₀ равен .

Уравнение касательной к графику функции в точке x₀ : y - y₀= f (x₀)(x - x₀). Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае:x - x₀ + f(x₀)(y - y₀)=0.

Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.