4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорема. Если непрерывная на [a,b] функция f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, то c(a,b):f(c)=0.

Доказательство. ПустьA=f(a) 0, B=f(b) 0. Далее производится последовательное деление отрезка пополам так, что f(a_n) 0 f(b_n). Общий шаг этого процесса: Обозначим середину отрезка [a_n, b_n] через c_n=. Обозначим [a_n+1, b_n+1] тот из отрезков [a_n, c_n], [c_n, b_n] , на концах которого функция принимает значения разных знаков f(a_n+1) 0 f(b_n+1). В результате этой процедуры будет построена последовательность вложенных, стягивающихся к нулю отрезков {[a_n, b_n]} , таких, что f(a_n) 0 f(b_n).

a_n c b_n, b_n - a_n 0a_n=c=b_n ,

f(a_n) 0 f(b_n) f(c) 0 f(c)

Следствие 1. f непрерывна на [a,b], f(a)f(b). Тогда для M из промежутка f(a), f(b) c[a,b]:f(c)=M

Доказательство: A=f(a)<B=f(b), доказанную теорему применяем к функции F(x)=f(x) – M .

Следствие 2. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], m=inf f(x), M = sup f(x), тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m,M].

5.Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: дляx₀(a,b], и

дляx₀[a,b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x₀(a,b], A=, тогда дляx[a,x₀):f(x)A и для >0 x[a,x₀):A- <f(x). Так как функция монотонно возрастает, то x(x,x₀):A- < f(x)  f(x)A. Таким образом, равенство доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо похожее утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее ( пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x₀ имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений f(x₀ - 0)= f(x₀), f(x₀)=f(x₀+0). Пусть f(x₀)f(x₀+0). Так как функция возрастает, то это означает, что f(x₀)<f(x₀+0). По лемме f(x₀+0)=. Имеем f(x) f(x₀) при x  x₀, f(x₀) < f(x₀+0)  f(x) при x > x₀. Таким образом, значения между f(x₀), f(x₀+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

6.Непрерывность обратной функции.

Еще раз определение обратной функции. Пусть f(x) определена на X, Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x₁ и x₂ соответствуют различные значения y₁ =f(x₁), y₂=f(x₂). Тогда для любого y Y !xX:y=f(x), такое соответствие y x называется обратной функцией и обозначается x=f ^-1(y).

Лемма. Обратная функция для строго монотонно возрастающей функции, будет строго монотонно возрастающей функцией. Обратная функция для строго монотонно убывающей функции, будет строго монотонно убывающей функцией.

Доказательство. Например, пусть f(x) монотонно возрастает. Если y₁ ,y₂ из области значений функции f(x) и y₁ < y₂ , то f ^-1(y₁)  f ^-1(y₂). Действительно, если предположить противное: x₁= f ^-1(y₁) > x₂= f ^-1(y₂) , то из условия монотонного возрастания функции f(x) получим неравенство y₁= f(x₁)  f (x₂)=y₂ , что противоречит условию y₁ < y₂ . Аналогично доказывается, что обратная к монотонно убывающей функции является монотонно убывающей функцией.

Теорема ( существование обратной функции у монотонной )

Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве.

Доказательство. Существование обратной функции следует из строгой монотонности. Кроме того, обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность.