Конспект лекций Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru

§5 Непрерывные функции

1.Непрерывность в точке и на множестве

f(x) определена на множестве X содержащем некоторую окрестность точки x₀, XU(x₀). Эта функция называется непрерывной в точке x₀ , если

f(x)=f(x₀) .

Определение непрерывности в точке по Коши

>0>0x X,|x-x₀|<: |f(x)-f(x₀)|<.

Определение непрерывности в точке по Гейне

x_n, {x_n}x₀, {x_n}X: f(x_n)=f(x₀)

Непрерывность справа:

>0>0x X, x₀  x < x₀ +: |f(x)-f(x₀)|<.

Непрерывность слева:

>0>0x X, x₀ - < x  x₀ : |f(x)-f(x₀)|<.

Непрерывность на множестве:

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

2.Простейшие свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции: f(x₀)>0U(x₀):f(x)>.

3) Если f(x) непрерывна в точке x₀, g(x) непрерывна в x₀, g(x₀)0, то функция непрерывна в x₀.

4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если f(x) определена в окрестности x₀ и непрерывна в x₀,

g(x) определена в окрестности t₀ и непрерывна в t₀, g(t₀)=x₀. Тогда в некоторой окрестности тоски t₀ определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t_0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f(x) не является непрерывной в точке x₀, то x₀ – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x₀ , или , функция претерпевает разрыв в точке x₀ .

В дальнейшем будет предлагать, что f(x) определена в некоторой окрестности x₀ (быть может, односторонней).

Опр. Если существуют конечные пределы

f(x₀ - 0)f(x) и f(x₀+0)f(x)

и f(x) разрывна в точке x₀ , то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x₀ - 0)=f(x₀+0), то разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x) определена на отрезке[a,b].

Она называется непрерывной справа в точке a, если f(a)=f(x). Если существует конечный предел f(a+0)f(x) и f(a)f(a+0) , то такой разрыв называется разрывом первого рода (устранимым).

3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Если {x_n}[a,b] и x_n=x₀, то x₀[a.b].

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 1(Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a,b] функция f ограничена на [a,b].

Доказательство. Ограниченность: Mx[a,b]:|f(x)|M. Отрицание Mx[a,b]:|f(x)|>M. В частности, n x_n[a,b]:|f(x_n)|>n. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность {} x₀, x₀[a,b]. Тогда, с одной стороны |f()|>n_k, с другой стороны f()f(x₀).

Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней.

Доказательство. Пусть M= f(x), n x_n:M-1/n<f(x_n)M. Выберем сходящуюся подпоследовательность x₀, x₀[a,b], M-1/n<f()M . Переходя к пределу в этих неравенствах при k получим требуемое равенство f(x₀)=M.