§2. Комплексные числа

1. Определение комплексного числа

Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью y = Im z.

Два элемента z₁ , z₂ равны z₁ = z₂ , если равны их вещественные и мнимые части z₁ = z₂  { Re z₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂ }.

Определяются две операции:

Сложение z = (x,y), w = (u,v), z + w = (x + u,y + v).

Умножение zw = ( xu – yv, xv + yu).

Это множество с такими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается C (комплексная плоскость).

Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y).

2. Свойства комплексных чисел

Ниже перечисленные свойства проверяются исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1) z₁ +z₂ = z₁ + z₂

2) z₁ +( z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃

3) обозначим = (0, 0), тогда для любогоz будет выполнено z + =z

4) zC можно определить противоположный элемент -z=(-x,-y), который обладает следующим свойством z+(-z)=

Можно доказать, что - единственный, противоположный дляz также единственен.

5) z₁ z₂ = z₂ z₁

6) z₁ ( z₂ z₃) = (z₁ z₂) z₃

7) определим =(1,0) , тогдаz: z=z

8) z (обратный элемент) z^-1: z z^-1 =

Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать число

z^-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам: xu - yv=1,yu+xv=0 (z z^-1 = ).Решая эту систему, получим u=x/(x²+y²),v=-y/(x²+y²).

Частное двух комплексных чисел определяется по формуле w/z=wz^-1.

9) z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃

3. Алгебраическая форма записи

Рассмотрим отображение c(x) из R в C: ,где xR,. Множество комплексных чисел (x,0), обозначим . Отображениеc(x) взаимно-однозначно, причем

1. c(x+y) = c(x)+c(y)

2. c(xy) = c(x)c(y)

3. c(0) =

4. c(1) =

Следствие: c(-x)=-c(x), c(x^-1)=c(x)^-1 или c(1/x)=1/c(x).

Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числамиx. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0) называется вещественной осью.

Мнимая единица. Введем обозначение i=(0,1).

Отметим, что x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом можно записать z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0,y)=iy называется мнимой осью.

4.Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Некоторые определения и свойства

Для z=(x,y), определяется комплексно сопряженное число ,

модуль комплексного числа .

Определение аргумента комплексного числа

Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2). Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg z = arg z +2k. Например, для первой четверти arg z = arctg y/x , а для четвертой четверти, arg z = 2+arctg y/x .

Тригонометрическая форма представления комплексного числа

z = x + iy = r( cos  + i sin  ), (1)

где =Arg z.

Формулы Эйлера. Введем обозначения

e^i = cos  + i sin , откуда следует, что

cos  = , sin = .

Замечание. Определение комплексного числа e^z в общем случае z=x+iy производится по формуле .

Свойства символа e^i. Непосредственно из определения следует

e^i(+) = e^i e^i,  (e^i)ⁿ=e^in

Используя e^i комплексное число можно представить в виде

z = re^i (2)

Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа