§3 Плоские кривые
1.Понятие кривизны и ее вычисление.
Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять кривизну окружности радиуса Rкак величину k=1/R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x(t),y(t),для краткости будем использовать обозначения:
x0=x(t0),x=x(t),y0=y(t0),y=y(t),u0=x(t0),u=x(t),v0=y(t0),v=y(t).
В процессе рассмотрения t0будет фиксирована, а t будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в точках (x0,y0), (x,y).
.
.
Найдем точку пересечения этих прямых.
или
Умножим первое уравнение на u, а второе на –vи сложим.
(uv0 -vu0)p=u(x0-x) +v(y0–y)откуда
.
Далее перейдем к пределу при tt0(uu0,vv0).Получим
.
Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки
,
.
Полученная таким образом точка называется центром кривизны кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки до центра кривизны называется радиусом кривизны.
.
Величина обратная радиусу кривизны
называется кривизной
.
Окружность с центром в (X0,Y0)и радиуса R0называется соприкасающейся окружностью.
2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой.
Рассмотрим кривую , заданную в виде y=f(x),x[a,b].В качестве параметризации выберем x=t,y=f(t),t[a,b].Тогда
,
,
.
3.Порядок соприкосновения кривых.
Пусть 1,2представлены функциями y=f1(x),y=f2(x)и пересекаются в точке (x0,y0).Кривые 1,2имеют порядок соприкосновения nв точке (x0,y0),если
,
для всех k=0,1,…,n,и
.
Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания nявляются следующие условия:
Функции n+1непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x0и
,
k=0,…,n,
.
Для доказательства обозначим f(x)=f2(x) -f1(x).Тогда в окрестности точки x0имеет место разложение по формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа
,
тогда
,
k=0,1,…,n+1.
Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания.
Ответ.
