6. Гладкие кривые. Определение. Кривая

 : tT

называется непрерывной, если непрерывны x(t), y(t), z(t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).

Для заданной параметризации ,t[ , ] начало кривой – точка A(x(),y(),z()), конец кривой – точка B(x(),y(),z()).

Замкнутая кривая это кривая, у которой конец совпадает с началом.

Кривая называется непрерывно дифференцируемой если функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы.

Гладкой называется кривая, которая непрерывно дифференцируема и для которой выполнено условие t : r(t)0.

Кусочно гладкая кривая – кривая, которая непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков.

§2 Длина кривой

1.Спрямляемая кривая

Разбиенем отрезка [,] называется набор точек t₀ , t_{1 ,}…. t_n таких, что =t₀< t₁<….< t_n=. Разбиение отрезка будем обозначать ={=t₀< t₁<….< t_n= } .

Пусть  : r(t) -непрерывно дифференцируемая на [,] кривая и ={=t₀< t₁<….< t_n= } – некоторое разбиение отрезка [,]. Для данного разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках A_k=(x(t_k), y(t_k), z(t_k)), k=0,1,…,n. Радиус вектор в точку A_k обозначим r_k. Длину ломаной обозначим (,)

(,)=|r_k+1 – r_k|

рисунок для плоского случая

Определение. Кривая  называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань ,где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям  отрезка [,]. Эта величина s называется длиной кривой .

Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.

Длина очередного прямоугольника равна половине длины соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломанной, попавшей в прямоугольник была > 1.

Теорема 1. Кривая, составленная из двух спрямляемых кривых спрямляема и ее длина равна сумме длин исходных компонент.

Доказательство. Пусть =+. Для любого разбиения  кривой  существуют разбиения , кривых , такие, что ()()+() . На рисунке на участке стыка двух кривых хорда AB заменяется на две хорды ACи CB.Все остальные хорды разбиения кривой  оставляем без изменения

.

Так как ABAC+CB, то отсюда получаем соотношение для длин кривых ss+s. С другой стороны любая пара , разбиений кривых , образует разбиение  кривой , поэтому справедливо обратное неравенство ss+s.

Теорема 2. Если кривая непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длинаsудовлетворяет неравенству

,

где ,,

, ,,

, t[,].

Доказательство. Пусть ={=t₀<t₁<…<t_n=}, тогда по теореме Лагранжа

|r(t_k+1 –r(t_k)|==

=

откуда и получаются требуемые неравенства.

Теорема 3. Если кривая гладкая, то длина дугиs(t) от начала кривой до точки, соответствующей значению параметраt, является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и

=|r(t)|

Доказательство. На участке [t,t+t]по теореме 2 выполнены неравенства

(1).

Требуемое равенство получится при переходе к пределу при t0, если учесть, что левая и правая части (1) будут иметь общий предел . Например,. Строгое монотонное возрастание функцииs(t)следует из условия > 0, выполненного для гладкой кривой.

Следствие 1. Для гладкой  можно выбрать в качестве параметра длину дуги от начала кривой до данной точки s=s(t).

Действительно, для этой функции существует обратная t=t(s)и, следовательно, (t)= (t(s))

В этом случае

|dr/ds|=|r(t)t(s)| =|s(t)t(s)|==1.

Следствие 2. dt,ds²=dx²+dy²+dz²,ds– элемент длины дуги.

Пример. Длина цепной линии y=chx.

Параметризацию кривой выберем в виде x=t,y=cht,t[0,t₀].

s(t)=|r(t)|=|i + sh t j|==ch t.Таким образом, s(t ) = (sh t) . Согласно следствия из теоремы Лагранжа s(t)=sht+C.s(0)=0s(t) =sht.