5. Асимптоты функций

Определение. Пусть f задана для x>c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x+ , если .

Пусть f задана для x < c . Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x-, если .

Пример.

В дальнейшем рассматривается лишь случай +.

Теорема. Пусть f(x) определена на [c,+ ). Для того, чтобы прямая y=ax+b была асимптотой функции f необходимо и достаточно, чтобы

1)

2)

Пример.

Наклонные асимптоты: в + линия y= - x+1, в - линия y = x+1.

Вертикальная асимптота

Функция f определена на (a,a+). Линия x=a называется вертикальной асимптотой, если , аналогично при x - 0.

Для нахождения наклонных асимптот параметрически заданных функций поступают похожим образом. Вначале разыскиваются значения параметра t₀ , для которых . Далее коэффициенты наклонной асимптоты находятся из соотношений

1)

2) (y(t) – a x(t)) = b ,

при условии, что указанные пределы существуют.

Для нахождения вертикальной асимптоты вида x=x₀ параметрически заданных функций находят t₀ такие, что ,.

6. Общая схема построения графиков

Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.

1 Область определения. Симметрия ( четность, нечетность ). Периодичность.

2 Асимптоты

3 Интервалы монотонности, экстремумы ( заполняется таблица, как показано ниже )

4 Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )

Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:

1. стационарные точки

2. особые точки (где не существует производная)

3. граничные точки.

Пример.

Асимптоты y/x1,x

Асимптота y=x-1

Особые точки ( в первом приближении только для первой производной ) 0,2,3

x	(-,0)	0	(0,2)	2	(2,3)	3	(3,+)
y	+		-	0	+		+
y		0		-41/3		0	
y	- 		- 		- 		+ 

67

Конспект лекций Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru