Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.

Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.

Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x₀) в некоторой проколотой окрестности точки x₀ .

Теорема. ( Необходимый условие экстремума )

Если x₀ – точка экстремума функции f и существует f(x₀), то f(x₀)=0.

Доказательство. Теорема Ферма.

Определение. Точка, в которой f(x₀)=0 называется стационарной точкой.

Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.

Пример. f(x)=x³.

Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )

f непрерывная в точке x₀. Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ функция f(x) дифференцируема и f(x) меняет знак при переходе через точку x₀ , то x₀ есть точка экстремума ( строгого ), причем

производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,

производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.

Доказательство. Применить теорему 3 на [x₀-, x₀] и на [x₀, x₀+].

Замечание. Если f непрерывна в x₀ , дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x₀ причем

f(x)0 на (x₀-, x₀),

f(x)0 на (x₀, x₀+),

то в точке x₀ локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:

f(x)  0 на (x₀-, x₀),

f(x)  0 на (x₀, x₀+).

Пример. |x|.

Теорема ( Второе достаточное условие экстремума )

Пусть x₀ – стационарная точка функции f и  f(x₀)0, тогда, если

f(x₀)>0, то в точке строгий минимум

f(x₀)<0, то в точке строгий максимум

Доказательство. Пусть f(x₀)>0,

Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство

, или . Тогда дляx > x₀ будет выполнятся неравенство

f(x) > 0 , а для x < x₀ будет f(x) < 0, обеспечивающее выполнение достаточных условий для экстремума.

Аналогично для случая f(x₀)<0.

Задача. Коробка, открытая сверху, наибольшего объема из квадратной выкройки

Объем коробки равен (a-2x)²x. Для поиска максимального объема вычислим

f(x)=(a²x - 4ax²+4x³)=a²- 8ax+12x². Нули производной

Таким образом, x = .

3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных

Пусть x₀ стационарная точка функции f, f(x) n-раз дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ причем

f(x₀)= f(x₀)=…= f^(n-1)(x₀)=0, f⁽ⁿ⁾(x₀)0

1. n=2k

Если f^(2k)(x₀)>0 , то в x₀ наблюдается строгий локальный min .

Если f^(2k)(x₀)<0 , то в x₀ наблюдается строгий локальный max .

2. n=2k+1

x₀ не является точкой экстремума, так как приращение функции f(x) – f(x₀) имеет разные знаки по разные стороны от точки x₀ .

Пример f(x) = ch x + cos x -, в точке 0

f(x)=sh x – sin x - , f(0)=0

f(x)=ch x – cos x –x², f(0)=0

f(x)=sh x + sin x –2x, f(0)=0

f⁽⁴⁾(x)=ch x + cos x –2, f⁽⁴⁾ (0)=0

f⁽⁵⁾(x)=sh x - sin x, f⁽⁵⁾ (0)=0

f⁽⁶⁾(x)=ch x - cos x, f⁽⁶⁾ (0)=0

f⁽⁷⁾(x)=sh x + sin x, f⁽⁷⁾ (0)=0

f⁽⁸⁾(x)=ch x + cos x, f⁽⁸⁾ (0)=2 >0 Поэтому в точке 0 имеется строгий локальный min .

4. Выпуклость функции, точки перегиба

Хорда, соединяющая точки M₁(x₁, f(x₁)), M₂(x₂, f(x₂)) графика функции f(x) задается функцией

y=L(x, x₁, x₂ ) = f(x₁) + f(x₂) (*)

Это проверяется подстановкой координат x₁, x₂ в правую часть (*).

Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a,b], если для x₁<x<x₂ из [a,b]

L(x, x₁, x₂ ) = f(x₁)(1)

Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство на строгое в (1) .

Теорема ( Достаточное условие выпуклости )

Если f непрерывна на [a,b], дважды дифференцируема на (a,b) и f(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.

Доказательство. ax₁<x<x₂bимеем

f(x) - L(x, x₁, x₂ )=f(x) -

Определение. Точка x₀ называется точкой перегиба функции f, если в точке x₀ существует касательная и в некоторой окрестности точки x₀ график f лежит по разные стороны от касательной.

Теорема 1. ( Необходимое условие точки перегиба )

Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x₀, то f(x₀)=0.

Доказательство. Противное f(x₀)  0. По теореме о сохранении знака f(x) сохраняет знак в окрестности точки x₀ . По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

не меняет знак. Левая часть этого равенства имеет смысл уклонения точки графика функции от касательной. Это, в свою очередь, означает, что график функции лежит с одной стороны от касательной.

Теорема 2 ( Достаточное условие точки перегиба )

1. f(x) в U(x₀) и f(x₀)=0

2. f меняет знак при переходе через точку x₀

Тогда x₀ точка перегиба.

Доказательство.По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

.

Следствие. Если f(x₀)=0 и f(x₀) 0, то x₀ – точка перегиба.

Доказательство. При данных условиях f будет монотонной, и будет менять знак при переходе через x₀ .