6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Теорема 1. Если функция f(x) четна и существует f(2n+1)(0), то имеет место следующее разложение этой функции
.
Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+2)(0), то имеет место следующее разложение этой функции
.
Теорема 2. Если функция f(x) четна и существует f(2n+2)(x) в некоторой окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство
,
где (0,x) или (x,0).
Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+3)(x) в некоторой окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство
,
где (0,x) или (x,0).
Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке ноль
f(2k+1)(0) = 0 , если f(x) четна.
Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной функции все производные четного порядка будут нечетными функциями и
f(2k)(0) = 0 , если f(x) нечетна.
В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+2 включительно.
§6 Исследования характера поведения функций
1.Условие монотонности функции
Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [a,b] и дифференцированная на (a,b) функция f(x) была постоянной на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 на (a,b).
См. следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.
Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была не убывающей ( не возрастающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b).
Доказательство. Необходимость
далее к перейти пределу.
Достаточность. Если x<x, то по теореме Лагранжа f(x)-f(x)=f()(x-x) откуда и следует требуемая монотонность.
Пример. Оценить погрешность
приближения функции sin
x многочленом
третьей степени
на отрезке[0, /2].
Рассмотрим функцию f(x)
= sin x
– x +x3/6.
Имеем f(x)=cos
x – 1 + x2/2
и далее
- 2
=0,на [0,
/2]
. Отсюда следует, что
функция f(x)
монотонно возрастает
на указанном отрезке и, таким образом,
достигает максимума в точке /2.
max |sin
x – x
+x3/6|=1
- /2
+ 3/480.075.
Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была строго монотонно возрастающей (убывающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b) и чтобы не существовало промежутка [,][a,b], на котором f(x)0.
Доказательство. Необходимость.
Достаточность.
Следствие. Для непрерывной на [a,b], дифференцируемой на (a,b) функции f(x) условие f(x)>0 ( f(x)<0 ) на (a,b) влечет строгое монотонное возрастание ( убывание ).
Пример. Доказать, что для
любого n функция
fn(x)
=x (/2
- arctg nx
) строго монотонно
возрастает на [0, +)
и
.
fn(x)
=
- arctg nx
–
=
- g(nx),
где g(u)
= arctg u
+
.Имеем
g(u)=
. g(0) = 0, g(+)
= /2.
Таким образом, g(nx)
< /2
и, следовательно, fn(x)
=
- g(nx)
> 0. Отсюда следует,
что
Для вычисления последнего предела
воспользуемся правилом Лопиталя
.
2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
Опр. Пусть f(x) задана на [a,b] и x0(a,b), x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x) f(x0).
Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0).