2.Остаток в форме Пеано

Теорема 1. Если функция f(x) (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x₀-a,x₀+a) точки x₀ и существует f⁽ⁿ⁾(x₀), то имеет место равенство

.

Другими словами

(5)

Доказательство. Для краткости будем обозначать R(x)=R_n(x)

(1₀)

(1₁)

…

(1_m)

…

(1_n-1)

f^(n-1)(x) дифференцируема в точке x₀, поэтому

откуда

По правилу Лопиталя

Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n–ю производную в точке x₀ и

,

то

Лемма. Если

, (2)

то b_k=0, k=0,1,…,n

Доказательство. в (2) перейдем к пределу при x x₀ , получим b₀ = 0,

, делим полученное выражение на (x-x₀) и переходим к пределу при x x₀ и т.д.

Доказательство теоремы.

откуда и следует утверждение.

3.Другие формы остатка в формуле Тейлора

Пусть функция f(x) (n+1)–раз дифференцируема в окрестности U_a(x₀)=(x₀-a,x₀+a) и (x) дифференцируема в ,0 в ,(x) непрерывна в .

Возьмем x(x₀-a,x₀+a), xx₀ и фиксируем. Для определенности будем считать x₀<x и рассмотрим на [x₀,x] функцию

. Отметим следующие свойства этой функции

1. (x)=0

2. (x₀)=R_n(x)

3. (z) непрерывна на [x₀,x], дифференцируема на (x₀,x).

4. 

Не очевидным является только четвертое свойство

===.

К функциям  и  применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [x₀,x]

. Откуда и, далее,

(1)

Следствие 1. Если функция f (n+1)-раз дифференцируема на (x₀-a, x₀+a), то

, где (x₀,x) (или (x,x₀)),p>0. Остаток Шлемильха-Роша.

Для доказательства этой формулы следует в качестве функции (z) взять

(z)=(x-z)^p.

Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f (n+1)–раз дифференцируема на (x₀-a, x₀+a), то

.

Получено из общей формулы при p=n+1.

Замечание. Формулу с остатком Лагранжа можно представить в виде.

.

Следствие 3. Если f (n+1)–раз дифференцируема на (x₀-a, x₀+a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши

Получено из общей формулы при p=1.

4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

1. e^x, x₀=0

,(0,x), если x>0 или (x,0) в случае x <0.

Например, при |x|<1, |R_n(x)|

2. sin x, x₀=0

Вспомогательная формула:

sin x ==,x0,

выберем m=2n+2 , тогда

sin x=,x0,

откуда, с учетом равенства f⁽²ⁿ⁺²⁾(0)=0, получаем разложение для синуса

sin x=,x0

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

sin x =,(0,x) ( или (x,0) ). Действительно,

sin x =

===. Откуда следует, что

3. cos x, x₀=0

Вспомогательная формула:

=,x0,

выберем m=2n+1 , тогда

cos x=,x0,

откуда, с учетом равенства f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=0, получаем разложение для косинуса

cos x=,x0

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

cos x =,(0,x) ( или (x,0) ). Действительно,

cos x =

===. Откуда следует, что

4. ln(1+x), x₀=0

, x0

5. (1+x)^, x₀=0, интерес представляет случай, когда  не является натуральным числом.

f=(1+x)^-1,…,f^(k)=( - 1)…( - k+1)(1+x)^{ - k}

, x0

Важный частный случай ==.

6) sh x, x₀=0

7) ch x, x₀=0

5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов

Пример 1.

Пример 2.

.

Пример 3. (1381) Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵ включительно.

. Для решения задачи возьмем разложения функции

e^2x = 1+2x+++++o(x⁵),

=(1+2x+++++o(x⁵))( )=

1+2x+x²+x³+x⁴+x⁵+o(x⁵)=

1+2x+x²x³x⁴x⁵+o(x⁵).

Пример 4. Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵ включительно. Представим функцию в виде

=1+u+u²+u³+o(u³), где u =. Тогда

=1+u+u²+u³+o(u³)=1++++. При вычислении степенейнас интересуют только слагаемые степеней не вышеx⁵ , более высокие степени войдут в o(x⁵). Таким образом,=,=,=. Выражение=показывает, что в разложении=1+u+u²+u³+o(u³) можно, с самого начала, ограничится второй степенью =1+u+u²+o(x⁵). Подставляя нужные выражения в это равенство получим =1+++=1+++.

Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁶ включительно.

tg x==

=

x+x²(0)+x³+x⁴(0)+x⁵+x⁶(0)=

=

Пример 6. Разложить функцию f(x)=(1+x)^ - (1 - x)^ по формуле Тейлора с остатком Пиано.

k = 2l+1,

Таким образом,

Следствие.

Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)

.

Имеем: =|x|=sign x +o().

Пример 8. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁴ включительно (1377).

Сначала выпишем разложение функции по степеням x до x³ включительно.

Положим u=x - x² , тогда ==1+u+u²+u³+o(u³) =1+ x - x²+(x – x²)²+(x – x²)³+o(x³)=1+x – x³ +o(x³). Далее,

==1+2x(1+x – x³ +o(x³))=1+2x+2x²-2x⁴+o(x⁴).

Второй способ. Так как ,то на первом шаге выделяем единицу:

=.Второе слагаемое представляем в виде Cxⁿg₂(x) так, чтобы , после чего следует представить функцию g₂(x) в виде g₂(x)= 1+g₃(x) и т.д. В нашем случае: ====

==1+2x+=

1+2x+2x²=1+2x+2x²-2x⁴+o(x⁴).