4. Определение предела по Гейне

Вспомогательные определения.

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x x₀ (или в x₀) заданной функции f(x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1. {x_n}X

2. x_n  x₀

3. 

Последовательностью типа Гейне {x_n} при xx₀ – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X

2) x_n<x₀

3)

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x x₀+0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X

2) x_n>x₀

3)

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X

2) ------

3) =

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x+ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X

2) ------

3) =+

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x - называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X

2) ------

3) =-

Определение предела по Гейне . Пусть f определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f(x) при x a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при xa будет выполнено

.

Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне.

Эквивалентность двух определений

Доказательство. Если по определению Kоши , то и по определению Гейне (общий случай: A, a – числа или символы).

Пусть по Коши. Пусть {x_k} последовательность типа Гейне при xa. Для данной окрестности U(A) существует проколотая окрестность такая, что (xX) (f(x)U(A)). (1)

Так как =a , то для U(a) существует N n>N: x_n U(a). Поскольку x_n  a, то n>N: x_n, следовательноn>N : x_nX откуда, согласно (1), будет выполнено f(x_n)U(A), т.е. .

Доказательство. Гейне  Kоши (частный случай, a и A - числа). Предположим противное ₀>0>0 x,0<|x-a|<:|f(x)-A|₀ . Для _n=1/n будет существовать x_n, 0<| x_n-a|<1/n такое, что |f(x_n)-A|₀ . Построенная последовательность { x_n } является последовательностью типа Гейне при xa и, тогда по условию , но это противоречит неравенству|f(x_n)-A|₀.

В случае символов это утверждение доказывается аналогично.

Замечание. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Докажем это для предела суммы двух функций.

Дано: Существуют пределы ,. Пусть{x_k} последовательность типа Гейне при xa, тогда ,. По свойству пределов последовательностей будет выполнено. Последнее означает, что.

25

Конспект лекций Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru