Глава 3. Предел функции. Непрерывность

§1. Основные понятия, относящиеся к функции

1. Определение функции. Обратная функция. Суперпозиция

Понятие функции является частным случаем общего понятия отображения.

X, Y множества вещественных чисел. Функция определяется как отображение из X в Y, .X называется областью определения функции, а Y - областью значений.

Если, кроме того, различным x отвечают различные y , то yY!xX:f(x)=y.

Полученная зависимость yx называется обратной функцией и обозначается f ^-1.

Теорема. Если f(x) строго монотонна на X и имеет область значений Y, то на Y существует обратная функция f^-1.

Для доказательства этого утверждения необходимо проверить выполнение условия единственности x в выражении yY!xX:f(x)=y , которое следует из строгой монотонности функции.

Суперпозиция g:TX,f:XY,:TY. Пишут также y = f(g(t)).

2.Ограниченность. Точные грани

f определена на X.

Ограничена на множестве X. bxX:|f(x)|b

Ограничена сверху на множестве X. bxX:f(x) b

Ограничена снизу на множестве X. bxX:f(x) b.

Точная верхняя грань

1.xX:f(x)b

2.>0xX:f(x)>b-

Верхняя грань достигается, если  xX:f(x)=b.

3.Елементарные функции

Функции

y=c, y=x^a, y=a^x (a>0), y=log_ax (a > 0), тригонометрические и их обратные называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, полученная применением конечного числа арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями называется элементарной функцией.

Примеры: Многочлен n степени = a₀+ a₁x+…+ a_m-1x^m-1+ a_mx^m (a_m0), дробно рациональная функция .

§2. Предел функции

1.Определение предела по Коши

Определения окрестностей. Окрестность числа a обозначается U_(a)=(a-, a+), >0,

окрестность символа + обозначается U_b(+)=(b,+) (b – любое число),

окрестность - обозначается U_a(-)=(-,a) (a – любое число),

окрестность  обозначается U_c()=(-,c)(c,) (c – любое число).

Проколотая окрестность =(a-,a+)\{a}, a-число.

Проколотая окрестность = U_b(+).

Проколотая окрестность = U_a(-).

Проколотая окрестность = U_c().

Задана функция f(x). Будем предполагать, что область определения X этой функции содержит некоторую проколотую окрестность точки a.

, если >0>0x,0<|x - a|<, xX:|f(x)-A|<

Геометрическое определение: A – является пределом функции f(x) при x a, если для любой окрестности A существует проколотая окрестность a, такая, что (xX)(f(x)U(A))

Геометрическое определение распространяется на все случаи (A, a числа или символы).

Пример:

a>0x,0<|x - a|<, xX: f(x)>a.

cax, x<a, xX: |f(x)|>c.

2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа.

Пусть f(x) определена на X= (c,a) , где a – число.

Предел слеваопределяется следующим образом .

Обозначение: .

Аналогично определяется предел справа .

.

Обозначение: .

3. Связь предела с односторонними пределами

f(x) определена на (a,b) за исключением, быть может, точки x₀(a,b) .

Теорема. Для того, чтобы существовал предел , (A – число) н. и д. существование односторонних пределов и их равенство числу A.

Доказательство: Следует непосредственно из определения.

Замечание Теорема верна и для A=+ ,-, но формально не верна для A=.

Пример: f(x)=1/x, x₀=0,