2.Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности {x_n} называется ее верхним пределом, , гдеX – множество всех частичных пределов. Можно показать, что .Аналогично, определяется нижний предел .

Замечание. Если , (число или символ), то. Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы. (без доказательства)

1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A- множество частичных пределов

.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов {x_n}.

3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:>0Nn>Np:|x_n+p - x_n|<

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {x_n} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть >0 . Для =/2Nn>N:|x_n -a|</2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |x_n+p -a|< /2. Таким образом, для n>Np:|x_n+p - x_n| |x_n+p - a|+|a - x_n| < /2+/2=.

Достаточность. Пусть  >0. Для

=/2N₁n>N₁p:|x_n+p - x_n|</2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N₁+1 оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность, пусть . Для ранее выбранного 

(2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N₁, тогда число N=n_m будет больше N₁ и, согласно (1)

n>N:|x_n - x_N|</2 , (3)

с другой стороны из (2)

(4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|x_n-a|< ч.т.д.

§4. Свойства последовательностей

1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число.

Последовательность _n называется бесконечно малой (б.м.), если .

Последовательность _n называется бесконечно большой (б.б.), если

1) {_n} б.м.  |_n| б.м.

2) {_n+_n} б.м. , если _n , _n б.м.

Следствие. {_n+_n+…+_n} б.м. если _n , _n ,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей {x_k}, {y_k} называется последовательность {x_ky_k}.

3) б.м. на ограниченную является б.м.

Следствие. Произведение конечного числа б.м. Является б.м..

4) {1/_n} б.б., если {_n} б.м. _n0

{1/_n} б.м., если {_n} б.б., _n0

5)Ранее отмечалось, что

существование конечного предела равносильно существованию б.м. {_n} такой, что .

6) {x_n},{y_n} сходятся, то сходится {x_n+y_n} и

Следствие. Свойство 6) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 6) нарушается, если хотя бы один из пределов равен 

7) {x_n},{y_n} сходятся, то сходится {x_ny_n} и .

Доказательство.

Следствие 1.Если {x_n} сходятся, то сходится {сx_n} и

Следствие 2. x_na 

8) x_na  |x_n||a|

9) x_na, y_nb, y_n0, b0 

Лемма. Если y_nb, y_n0, b0, то |1/y_n| ограничена.

Доказательство: , тогда для

таким образом,

Доказательство свойства 9)

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.