Конспект лекций Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru

Глава 2. Последовательности

§1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям

1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {a_n} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {a_n}: na_n .

Ограниченность сверху.  b nN: a_n  b. Такое b называется верхней гранью последовательности {a_n}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у ней существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. a nN: a_n  a. Существует нижняя грань.

Ограниченность. c nN: |a_n|  c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)ⁿ}, sin n,

Определение точной верхней грани. b = sup {x_n}:

1. nN: x_n  b ( b есть верхняя грань )

2. >0 nN: x_n > b -  ( никакое меньшее число не является верхней гранью )

Аналогично определяется inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b  sup {x_n}.

b  sup {x_n} означает отрицание b = sup {x_n}. Таким образом, выполнено

или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или

1. nN: x_n > b

или

2) >0nN: x_n  b - 

Монотонно возрастающая последовательность {a_n} .

nN: a_n  a_n+1

Строго монотонно возрастающая последовательность {a_n}.

nN: a_n < a_n+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

2. Предел последовательности

запись на кванторах

{x_n} сходится (у последовательности есть конечный предел)

Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.

Замечание.

Бесконечно малая последовательность {x_n}:.

Замечание. {x_n}a  x_n=a+_n, где _n- бесконечно малая последовательность.

3. Несобственные пределы

Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).

Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.

Геометрическое определение предела

Интервал (a-, a+) называется - окрестностью точки a.

Окрестность несобственных точек -, +, .

Окрестностью - называется множество вида (-,b) .

Окрестностью + называется множество вида (b,+) .

Окрестностью  называется множество вида {x: |x|>b} =(-,-b) (b,+). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.

Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности {x_n}, если вне любой окрестности имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

§2. Теоремы о пределах последовательностей

1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.

Т1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел

Т2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: .Возьмем =1 по определению предела для него Nn>N:a-1<x_n<a+1. В таком случае для числа b=max{|x₁|,…,|x_N|,|a-1|,|a+1|} будет выполнено n:|x_n|<b.

Т3. (О трех последовательностях)

Т4.

Следствие 1.

Следствие 2.

Замечание.