3. Справедливая цена индексного фьючерса

Индекс можно синтезировать путем покупки акций в той же пропорции, в которой они входят в индекс. За время проведения операции акции приносят дивиденды. Поэтому на момент окончания операции мы получим доход как от продажи ранее купленных акций по их рыночной стоимости, так и от дивидендов с процентами. Поэтому справедливая стоимость фьючерса определяется по схеме:

N – количество компаний, акции которых входят в индекс.

S₀ – стоимость пакета акций на начало периода равна стоимости индекса на начало периода.

Очевидно, что формула стоимости фьючерса практически совпадает с формулой стоимости фьючерса на акции с дивидендами. Разница только в том, что теперь мы имеем дело не с одной акцией, а с их набором.

Если F > S∙e^rt - D_FV, то покупаем «дешевую» S и продаем «дорогую» F. Продажа F означает короткую позицию, следовательно, стратегию выстраиваем по короткой схеме (1):

S – B – F

Она предполагает покупку пакета акций соответствующего индексу (длинную позицию) и продажу облигации (короткую позицию). Значит, формируем портфель следующим образом:

1. Покупаем набор акций, который по сумме совпадает с текущим значением индекса и имеет ту же самую структуру (длинная позиция): (+S);

2. Для этого берем кредит в размере S, что эквивалентно продаже облигации (короткая позиция): (-B);

3. Продаем фьючерс (короткая позиция): (-F). Иными словами, принимаем на себя обязательство «поставить» индекс в будущем по цене F.

В результате мы должны в будущем получить положительный доход, не затрачивая сейчас никаких средств. Позиция на (B,S) рынке: S – B - F > 0

В момент поставки индекса – t₁ - мы получим следующие денежные потоки:

1. Доход от продажи набора акций (поставки их по индексу) в размере F;

2. Доход в виде дивидендов с учетом реинвестирования, который мы получим от имеющихся акций:

3. Расход – погашение кредита – в размере B = S∙e^rt.

4. Чистый доход, или P/L по сделке: .

Поскольку имеется возможность получить деньги без всякого риска и без начальных вложений собственных средств, то ей будут пользоваться арбитражеры. Спрос на акции возрастет, и цена пакета акций S вырастет, вырастет и индекс I. С другой стороны, будущие продажи акций возрастут, следовательно, форвардная цена индекса - F - снизится.

Если же, напротив, F < S∙e^rt-D_FV, то формируем портфель исходя из покупки «дешевого» индекса F и продажи «дорогого» набора акций S, т.е. строим его по схеме (2):

F + B – S

Она предполагает: продажу набора акций соответствующего индексу I (короткая позиция), покупку облигации (длинная позиция), покупка фьючерса (длинная позиция). Значит, формируем портфель следующим образом:

1. Занимаем у брокера акции S и продаем их (осуществляем короткую продажу);

2. Полученную сумму в размере S размещаем в банк (покупаем облигацию B – длинная позиция);

3. Занимаем длинную позицию по акции (принимаем на себя обязательство купить набор акций в будущем по цене F, т.е. «купить» индекс).

В момент t₁ будущей покупки акции получаем следующие денежные потоки:

1. Доход – сумма депозита в размере B= S∙e^rt;

2. Расход – покупка акции по цене F

3. Расход - дивиденды брокеру D_FV.

Купленную акцию и полученные дивиденды возвращаем брокеру. Чистый доход от операции, или P/L по сделке равен: S∙e^rt - F - D_FV > 0.

Опять-таки возможность получения дохода без вложения собственных средств и без всякого риска привлечет внимание арбитражеров. Поэтому текущие продажи акций возрастут и их цена спот – S – упадет, упадет и индекс. С другой стороны, будущая цена индекса – F – возрастет, поскольку его будут больше покупать. Через некоторое время цены установятся таким образом, чтобы исключить любые арбитражные возможности.

Поэтому единственной экономически обоснованной форвардной ценой индекса будет цена: .

Оценка фьючерсов на индекс также как и в отношении акций допускает два подхода:

1. оценка фьючерсов на акции с известными дивидендами – D; и

2. оценка фьючерсов на акции с постоянной дивидендной доходностью – d.

До сих пор в отношении индексных фьючерсов мы пользовались первым подходом. Он вполне оправдан для тех индексов, которые рассчитываются для небольшого набора компаний, как, например, DJIA, рассчитываемый на базе 30 компаний. Однако наибольшей популярностью в настоящее время пользуются индексы с более широкой базой, из которых наиболее известным является S&P-500. Для подобных индексов можно заменить набор дивидендов по акциям отдельных компаний единой дивидендной доходностью для всех акций индекса. В этом случае цена фьючерса приобретает более простой вид:

где d – норма выплаты дивидендов;

h – форвардная премия.

Пример 12. Форвардная цена индексного фьючерса I = 1 136 – значение индекса S&P-500; v = 250$ - цена пункта; r = 6% - ставка процента; t = 143 дня; d = 3.5% норма выплаты дивидендов; F(I) = ? – значение индекса по дискретным и непрерывным ставкам; F(S) = ? - цена индекса по дискретным и непрерывным ставкам. Решение S = I∙υ = 1’136∙250 = 284’000 - стоимость индекса спот. Справедливое значение и справедливая цена индекса по дискретным ставкам: Справедливое значение и справедливая цена индекса по непрерывным ставкам: =286’795.31$