3. Конверсионные уравнения (b,s,f)-рынка

На ликвидном и полном рынке всегда можно провести комбинированную стратегию, т.е. организовать арбитраж. Арбитраж – это возможность получения прибыли путем занятия двух позиций одновременно, одна из которых длинная, а вторая – короткая.

Другими словами, продавец контракта, который согласен поставить акцию в будущем (короткая позиция), может занять сейчас в банке сумму в размере S₀ (продать облигацию -B), купить акцию (длинная позиция +S) и ждать окончания срока контракта. В результате будет сформирован портфель П = S - B = F, или, точнее, П = δ∙S - b∙z = F, где δ – количество базовых активов в портфеле; B = b∙z, где z – стоимость облигации зеро с соответствующим сроком, а b – их количество.

δ – «дельта» зависит от чувствительности стоимости дериватива от стоимости базового актива. Для фьючерсов можно принять, что δ=1, поэтому при записи их арбитражных стратегий δ опускается. Однако нужно учитывать, что даже для фьючерсов δ=1 только в идеальном случае. На самом деле она может от единицы отличаться, что и используется в так называемом дельта хеджировании. Однако в целом дельта для фьючерсов является величиной довольно устойчивой.

То же самое можно выразить и в терминах позиций. Поскольку F = S∙e^rt и , то

F_l =(S_Т - X) ∙e^-rt = ( F_Т - X) ∙e^-rt =S - X ∙e^-rt

F_s = (X - S_Т) ∙e^-rt = (X - F_Т) ∙e^-rt =X ∙e^-rt – S

S - X ∙e^-rt – F = 0

F + X ∙e^-rt - S = 0

X ∙e^-rt – это дисконтированная цена исполнения и значение этой величины точно известно на сегодняшний момент времени. Поэтому эту величину можно обозначить как цену дисконтной облигации сроком t и доходностью r.

Такая форма записи позволяет выразить дисконтированную цену исполнения как набор дисконтных облигаций с нулевым купоном (облигаций зеро) с соответствующим сроком. Количество таких облигаций – b. Значит, чтобы сымитировать цену фьючерса, т.е. чтобы синтезировать его из имеющихся на рынке подручных активов, нужно взять определенное количество:

1. δ - базовых активов: δ∙S;

2. b – определенное количество облигаций зеро: b∙z_t;

3. подобрать из них подходящие длинные или короткие позиции.

Коэффициент дельта - δ – показывает пропорцию, в которой меняется цена фьючерса при изменении цены базового актива. Она является показателем чувствительности цены дериватива к цене базового актива. В полной мере этот коэффициент потребуется при определении справедливой стоимости нелинейных финансовых инструментов, т.е. таких инструментов, которые содержат опционы. Однако и в работе с фьючерсами определение коэффициента дельта является важным условием эффективного хеджирования.

Рисунок 8. Зависимость цены дериватива от цены базового актива

В случае же фьючерсов δ=1, поскольку на графике видно, что:

1. зависимость фьючерса от цены базового актива является линейной;

2. графики позиций пересекают ось S под углом 45⁰.

Значит

Цена рискованного инструмента (S) может быть разложена на две составляющих: безрисковую (В) и рискованную (F). Таким образом, можно записать

S = B + F

Если на рынке одновременно можно найти все три инструмента (S, B, F), каждый из которых торгуется на своем сегменте финансового рынка со своими спросом и предложением, то любой инструмент можно синтезировать из двух других инструментов. В этом случае в формуле слева стоит сам инструмент, а справа его синтетик.

Отсюда следует, что если на рынке имеется два инструмента, то всегда можно определить справедливую стоимость третьего:

B = S – F

S = B + F

F = S - B

Условимся, что при записи таких формул, которые представляют собой инструмент и его синтетик, т.е. являются элементарной записью портфеля, мы будем брать те активы, которые стоят в длинной позиции (позиции покупки), обозначать со знаком плюс, а активы, стоящие в короткой позиции (позиции продажи) будут иметь знак минус. Тогда в терминах позиций мы получим две основные элементарные формулы, которые представляют собой формулы паритета (B,S,F)-рынка:

1. S – F – B =0

2. F + B - S = 0

Очевидно, что арифметически эти формулы эквивалентны, но содержательно- экономически они существенно различаются, поскольку являются условными записями двух разных портфелей. В первом актив (S) стоит в длинной позиции, а фьючерс и облигация в короткой. Во втором, напротив, актив (S) стоит в короткой позиции, а фьючерс и облигация – в длинной.

Таким образом, определение справедливой форвардной цены основывается на формировании портфеля базовых активов с такими же потоками, что и денежные потоки по форварду.

В результате мы получили первые конверсионные уравнения. Эти конверсионные уравнения в полной мере подходят к форвардам. Для фьючерсов нужен пересчет, связанный с вариационной маржей.

Для формирования арбитражных портфелей нам нужно будет выразить их в терминах позиций. Мы их обозначим как прямую и обратную схемы

1. S – B – F = 0 – прямая схема (базовый актив в длинной позиции);

2. F + B – S = 0 – обратная схема (базовый актив в короткой позиции).