3. Формулы дюрации (Duration)

Портфельные менеджеры давно поняли, что риск владельца облигации не пропорционален сроку до погашения, поскольку большее значение имеют ближние платежи, а значение дальних становится все меньше, по мере увеличения срока. В 1938г. Фредерик Маколи (Macaulay, 1938)² ввел понятие дюрации, чтобы получить лучшую, чем срок до погашения, оценку продолжительности инвестирования в облигацию.

1. Дюрация долларовая

Цена облигации:

Первая производная:³

денежная (долларовая) дюрация

Это наклон касательной к графику PV. Измеряется в денежных единицах, поэтому и называется долларовая дюрация.

Беря первый член разложения в ряд Тейлора, получаем грубую оценку изменения цены в зависимости от изменения доходности:

Пример 1. Изменение цены облигации с использованием долларовой дюрации

Имеется облигация: N=1000, T=5 лет, c=10% Насколько изменится цена облигации при изменении ставки процента с r0=5% до r1=6%. Изменение стоимости облигации при прямом расчете цен: B0 = 1216.47$ B1 = 1168.49$ dB = -47.98$ Изменение цены облигации с использованием дюрации: δ$ = 4928$ dB = δ$∙dr = -4928∙0.01 = -49.28$

2. Дюрация модифицированная

Делим долларовую дюрацию на цену облигации:

модифицированная дюрация (эластичность)

Тогда

Модифицированная дюрация показывает, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении ее доходности на 1%. Следовательно, чем выше дюрация, тем выше чувствительность цены облигации к изменению ставок процента на рынке, поскольку реакция выше.

Цены облигаций различаются, но модифицированная дюрация позволяет абстрагироваться от разницы в ценах.

Например, возьмем купонную ставку с=8% и доходность r=5%. Тогда модифицированная дюрация для 2-летней облигации равна δ₂=-1.84, а для 30-летней – δ₃₀=-14.12. Следовательно, при увеличении доходности на 1% цена 2-летней облигации упадет на 1.84%, а 30-летней – на 14.12%. Длинная облигация оказывается в 14.12/1.84=7.67 раза более чувствительна к изменению ставок процента, чем короткая облигация. Другими словами, если мы вложили 1 млн. $ в 30-летние облигации, то риск по ним эквивалентен риску, которому подвергается позиция в 7.67 млн. $ по 2-летней облигации.

Если же ставки процента повысятся на 2%, то цена 30-летней облигации упадет примерно на 2∙14.12=28.24%.

Пример 2. Процентное изменение цены облигации с использованием модифицированной дюрации

В предыдущем примере цена облигации изменилась на: Если подсчитать изменение цены с помощью модифицированной дюрации получим, что цена должна измениться:

3. Дюрация Маколи (Macaulay)

Умножаем модифицированную дюрацию на (1+r)

дюрация Маколи (Macaulay)

Простая формула дюрации Маколи

где m – количество выплат в год

От этой формулы можно перейти к другим дюрациям:

Поскольку

то

- обычная (модифицированная) дюрация

- долларовая дюрация

Посмотрим на расчет цены облигации по-другому:

делим на B

w_t – это доля сегодняшней стоимости (цены) облигации, которую получает инвестор с очередной выплатой.

доля цены облигации, которая обязана CF соответствующего года.

Иными словами, w_t – это доля PV денежного потока года t. Или, что то же самое, это вклад денежного потока года t в цену облигации. Если, к примеру, w₃=0,25, то это значит, что доля денежного потока третьего года в цене облигации составляет 25%. Естественно, что сумма весов равна единице:

Взаимосвязь дюраций:

Тогда

- средневзвешенное время погашения с весами w_t (т.е. имеет размерность времени).

Если w_t это вклад денежного потока года t в цену облигации, то t∙w_t – это вклад периода времени t в общий срок жизни облигации как актива, т.е. как источника дохода. Если w₃=0,25, то t∙w₃ = 3∙0.25 = 0.75 года.

Пример 3. Средневзвешенное время погашения

N=1000$, c=10%, r=5% B = (95.24+90.70+86.38+82.27+78.35)+783.53=1216.47 1 = (0.8+0.7+0.7+0.7+0.6)+0.64 = 0.36+0.64 σ = (0.8+0.15+0.21+0.27+0.32)+3.22 = 1.03+3.22 = 4.25 В цену облигации 70% (0.6+0.64) вносит денежный поток 5-го года

Дюрация – это средневзвешенный по сумме срок погашения финансового инструмента. Поэтому – это центр тяжести периодов времени, взвешенных по денежным потокам.

Дюрация – это срок до погашения финансового инструмента. Однако он принимает во внимание не только срок облигации (физическое время), но и структуру выплат по ней. Ближние выплаты имеют большую ценность, чем дальние. Поэтому (при равных выплатах) ближним выплатам присваивается и больший вес, чем дальним. Две облигации с одинаковыми абсолютными выплатами, но по-разному распределенными во времени могут иметь разные дюрации.

Чем больше срок до погашения, тем больше дюрация.

Рисунок 5. Зависимость дюрации от срока до погашения облигации (с=10%, r=5%)

Как видно из графика для облигаций с длинными сроками дюрации отличаются мало, поскольку дальние платежи вносят малый вклад в цену облигации. Более того, на графике можно заметить, что дюрация долгосрочных облигаций удивительно мала. Дюрация Маколи для 50 летней облигации (N=1000$, c=10%, r=5%) равна всего 17.76 года.