38. Теоремы Фредгольма.

Теорема1: данное однородное линейное уравнение 2 – го рода имеет и притом единственное решение при всякой функции f или соотв. Однородное уравнение имеет по крайней мере одно нетривиальное решение.

Теорема 2 : если для данного уравнения (1) имеет число место случай альтернативы,то он имеет и два транспонированного уравнения.

Z(x)= (ᶓ ,x)Z(ᶓ)dᶓ+f(x) (8)

Причем как данное уравнение и транспонированное имеет конечное число линейно независима решения, и число это одинаково для обеих уравнений.

Теорема3. Во втором случае альтернативы необходимым и достаточным условием сущ. решения неоднородного уравнения(1) явлю условие: (x)Z(x)dx=0,где Z- любое решение транспанированного уравнения(8) 39. Предмет вариационного исчисления. Понятие функционала. Первая вариация функционала. Основная лемма вариационного исчисления.

Во физических задачах наряду с задачами в которых необход. найти наиб и наим. значение некоторой ф-ии встречаются задачи о максимуме и минимуме величин особого рода, наз-ых функционалом

Под функционалом будем понимать переменную велечинуЮзначение которой опред-я выбором одной или нескольких ф-ий например,функционалом явл. длина l кривой y=y(x)соединяющей 2 заданные точки A( )и B( )

Исходя из приложенней опред. Интеграла функционалом l,действ на ф-ю y=y(x):

L[y(x)]= dx

Вариационные исчисления изучает методы, позволяющие находить максимумы и минимумым значения для функционала a b задачах,где требуется исслед. Функционала на max и min наз-я вариационное исчисления.

Лемма1

Если для каждой, непрерыв на отрезке( , ) ф-ии η(x) интеграл (x)y(x)dx=0

Где Ф-непр. На отрезке [x0,x],то Ф(х) = 0 на этом же отрезке. 40. Уравнение Эйлера и необходимое условие экстремума простейшего функционала.

А необходим условием oxtr дифф-я ф-ии явл равенство:ɥ’|α,0=0

Поэтому необходимым условием oxtr функционала будет - (Fy’))δydx=0

Или продифф-ов Fy-Fxy’-Fyy’*y’-Fy’y’*y’’=0 -----уравнение Эйлера.

41. Задача о брахистохроне.

В этой задаче требуется опред-ть линию,соединяющую 2 две заданные точки а и б не лежащие на одной вертикальной прямой и обладают тем св-ом,что тело скатится по этой линии за кратчайшее время.

Очевидно, что такой линией не будет прямой поскольку при движ-ние по прямой v будет нарастать сравнительно медленно.

42. Задача о наименьшей площади поверхности вращения.

Здесь требуется опред-ть линию наше длины,соедяющую 2 заданные точки на некоторой поверхности ɥ(x,y,z)=0 такие кратчайшие линии-геодереческие математически задачи о геод. Вариационного исчесления на так называемый связаный extr(условный),а именно необход.найти мин функционала и причем ф-ии y=y(x),z=z(x) связаны рав-ой

ɥ(x,y,z)=0

l= dx

43. Задача с подвижной границей, условие трансверсальности, необходимое условие экстремума.

Требуется найти замкнутую линию заданной длины l, огранич. max.

В этой задаче требуется опред-ть extr функционала приналичии дополнительного условия,длина должна быть const,т.е. функционал:

l= dx-сохр const значение такие условия назыв изопериметрическими