35. Принцип сжимающих отображений.

Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных или алгебраических уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных – так называемый принцип сжимающих отображений.

Отображение A метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением (сжатием), если существует такое число  , что для любых двух точек  выполняется неравенство (1)

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если Ax=x. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ax=x.

Теорема. (Принцип сжимающих отображений).

Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве M, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство.

Пусть   -произвольная точка в M. Положим   Покажем, что последовательность   фундаментальная. Действительно, считая для определенности  , имеем

Воспользуемся неравенством треугольника, получим:

Ρ(

Так как α , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты M последовательность  , будучи фундаментальной, имеет предел.

Положим 

Если  , то в силу (1)  . Поэтому

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность.

Если Ax=x,Ay=y, то (1) принимает вид ρ(x,y)

Так как  , отсюда следует, что

Теорема доказана.

37. Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром и невырожденным ядром

Ядро   интегрального уравнения Фредгольма (2) называется вырожденным, если его можно представить в виде конечной суммы производных двух функций, одна из которых зависит от  , а другая от  :

                       =                                                              (1)

Рассмотрим уравнение с таким ядром:

                                                               (2) 

 - непрерывная на   функция.

Пусть уравнение (2) имеет решение  , тогда обозначим через

                                                                                  (3)

Подставим (3) в (2) получим                                                                                         (4)

Решение интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к определению постоянных  . Заменим в (4) _i на _j, умножим обе части (4) на   и проинтегрируем правую и левую части по _x от _a до _b:

                                     (5)

тогда для   воспользуемся (3), получим из (5) систему линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять коэффициенты  :

                                                                                          (6)

Если (6) не разрешима, то интегральное уравнение (2) не разрешимо.

Пусть система (6) имеет решение  , тогда подставив в (4), получим