32. Теорема Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости, об асимптотической устойчивости, о неустойчивости нулевого решения.

Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

=f(t,x) (t 0), (1)

Где x=x(t)= , f(t,x)=

Причем f(t,x) непрерывна на Z= при некотором H>0.

Будем считать, что система(1) имеет нулевое решение ,т.е f(t.,0)=0

Определение 1. Пусть имеется функция V=V(t,x)

Рассмотрим произвольную пару (t,x)∈Z и соответствующие этой паре начальных дынных решение x=(τ;t,x) системы(1), так что x(t;t,x)=x. Производной по времени t функции V(t,x) в силу системы (1) называют функцию (2)

Где

есть градиент функции V

Теорема 1.(теорема Ляпунова об устойчивости).Пусть дана система(1), имеющая нулевое решение. Если существует положительно определенная функция V=V(t,x) ,называемая функцией Ляпунова, которая обладает неположительной производной по времени в силу системы (1),то нулевое решение этой системы устойчиво по Ляпунову.

34. Виды интегральных уравнений. Связь интегральных уравнений с дифференциальными.

Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее под знаком интеграла неизвестную функцию.

Интегральным уравнением Фредгольма 2 рода называется уравнение вида: (1)

Интегральным уравнением Фредгольма 1 рода называется уравнение вида: (2)

Здесь -искомое решение, K и f-заданные функции, -параметр.Функция -называется ядром параметра,f(x)-свободным членом. Если fΞ0,то уравнение называется однородным, если f 0, то неоднородным.

Интегральным уравнением Вольтерра второго рода называется уравнение вида: (3)

Здесь y(x)- искомая функция, ядро и свободный член f(x)- известны

Интегральным уравнением Вольтерра 1 рода называется уравнение вида: (4)

Уравнение Вольтерра модно в некоторых случаях рассматривать как частное уравнение

Фредгольма 33. Классификация точек покоя системы двух линейных уравнений первого порядка.

Рассмотрим линейную однородную систему: , где -числа и |A| 0. Это автономная система. Мы знаем, что вид ее решения зависит от характеристических корней матрицы А.

Изучив все возможные случаи решений, мы получим следующие располо-жения траекторий в окрестности точки покоя О(0,0):

1) Если . Точка покоя асимптотически устойчива. Точку покоя при таком расположении траекторий называют устойчивым узлом

2) Если Точка покоя неустойчива. Ее называют неустойчивым узлом

3) Если . Точка покоя неустойчива. Ее называют седлом.

Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3

4)Если Точка покоя асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым фокусом

5) Если Точка покоя неустойчива. Ее называют неустойчивым фокусом

6) Если Точка покоя устойчива. Ее называют центром

Рисунок 4 Рисунок 5 Рисунок 6

7) ) Если Точка покоя асимптотически устойчива. При таком расположении траекторий, как на рисунке 7, ее называют устойчивым вырожденным узлом. Если траектории располагаются как на рисунке 8 – дикритическим узлом