27. Линейные системы. Свойства решений линейных однородных систем.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где a_ij(x) и b_i (x) — известные, а y_j (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n,   j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.

 

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде

Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.

Система   Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система   Y' = A(x)Y— однородной линейной системой.

 

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.

Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из R^{n + 1}, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀,

имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .

 

Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.

Свойство 1. Сумма любого решения системы (2.2) и любого решения соответствующей однородной системы (4.2) является решением системы (2.2).

 

Доказательство.

Пусть с₁, с₂,…,с_n – решение системы (2.2), а d₁, d₂,…,d_n – решение системы (4.2) с теми же коэффициентами при неизвестных. Подставим в систему (2.2) x_i=c_i+d_i:

             .

После перегруппировки слагаемых получим:

           .

Но Следовательно, x_i=c_i+d_i является решением системы (2.2).

 

Свойство 2. Разность любых двух решений неоднородной системы (2.2) является решением соответствующей однородной системы (4.2).

31. Исследование устойчивости решения по первому приближению.

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:

Линейная система устойчива по Ляпунову при  t ≥ t₀, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при  t ≥ t₀.

 

Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при  t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при  t → ∞ .

Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.

Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x' = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке [t₀ , ∞). Система устойчива при  t ≥ t₀, тогда и только тогда, когда тривиальное решение x = 0 однородной системы x' = A(t) x устойчиво при  t ≥ t₀.

Теорема об асимптотической устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x' = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке [t₀ , ∞). Система асимптотически устойчива при  t → ∞, тогда и только тогда, когда тривиальное решение x = 0 (точка покоя) однородной системы x' = A(t)x асимптотически устойчиво при  t → ∞.

 

Эти утверждения означают, что для исследования устойчивости линейной системы достаточно исследовать устойчивость точки покоя соответствующей однородной системы.

Рассмотрим автономную систему второго порядка: Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁ /dt и dx₂ /dt зависят только от x₁ и x₂ и не зависят от t.

Обозначим и  . Пусть — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения задают в параметрической форме кривую на плоскости x(1), x(2) . Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы.Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы.

Точка a, в которой правая часть системы обращается в нуль, называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

Точка покоя a называется устойчивой по Ляпунову, если: 1) существует такое дельта большое нуля, что для при существует решение задачи Коши с начальным условиям  ; 2) для всякого e>0 существует такое , что если и , то при всех . Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если при достаточно малых .

Очевидно, что линейная автономная система имеет единственную точку покоя: x₁(t) = 0, x₂(t) = 0, при всех . При этом характер точки покоя (0, 0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел l₁ и l₂ матрицы системы. А именно, пусть l₁ и l₂ — собственные значения матрицы A исследуемой системы:

если l₁ и l₂— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом

если l₁ и l₂ — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом

если l₁ и l₂ — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом

если l₁ и l₂ — комплексные числа, l_1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива, точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром, при Rel< 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом а если Rel>0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом