23. Уравнение с правой частью в виде квазиполинома. Зависимость решений от начальных данных.

Если же решается уравнение с постоянными коэффициентами, более экономным может оказаться так называемый метод квазиполиномов, если правая часть уравнения имеет специальный вид.

Определение. Квазиполиномом называют выражение вида

[P_s(x)cosqx + Q_r(x)sinqx], где P_s(x) и Q_r(x) - многочлены порядков s и t соответственно.

В различных приложениях теории О.Д.У. правые части f(x) уравнений с постоянными коэффициентами часто имеют подобный вид. Например, если такая функция описывает вынуждающее воздействие на некоторую механическую систему, находящуюся в колебательном режиме, то такое воздействие может зависеть нелинейно от времени x (полиномы P_s и Q_r), осциллировать с частотой q, и быть модулированным с амплитудойм .

Вначале рассмотрим частный случай, когда q = 0, то есть, квазиполином имеет вид P_s(x). При этом, P_s(x) = A₀x^s + A₁ x ^s-1 + A₂ x^s-2 + . . . + A_s . Тогда получаем:

a₀ . (1) . . y(x)= P_s(x). (11.8)

Б удем искать частное решение уравнения (1) в виде квазиполинома: y(x)= , где - многочлен того же порядка, что и P_s(x), но с неизвестными коэффициентами , , , . . . . Подставляя искомое решение такого вида в (1), и пронося экспоненту через дифференциальный оператор, получим

a₀ . . . = P_s(x). (2) (11.9)

Сокращая равенство на экспоненту, приходим к уравнению, связывающему два многочлена, так как дифференцирование любого многочлена также приводит к многочлену.

При этом, если ни одно из чисел – не обращается в ноль, степень многочлена в левой части остается равной s , так как у операторного многочлена слева сохраняется свободный член

a₀ . . . , отличный от нуля. В результате, получаем равенство

R _s (x) = P_s(x) (3) (11.10)

двух многочленов одинаковой степени, причем коэффициенты многочлена R _s (x) линейно зависят от коэффициентов многочлена . Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменной x в равенстве (3), получим алгебраическую систему, состоящую из s + 1 уравнения для s + 1 неизвестных , , , . . . . Решая эту систему, получим явный вид искомого решения .

Теорема1:.Частное решение неоднородного уравнения (8.1) с постоянными коэффициентами и правой частью вида [P_s(x)cosqx + Q_r(x)sinqx] строится в виде квазиполинома [ cosqx + sinqx], где t = max{s, r}, если ни один из корней характеристического уравнения (1.3) не совпадает с числами p iq, и в виде

[ cosqx + sinqx], если p iq совпадает с корнем кратности _p .

24. Линейное уравнение Эйлера.

Линейное дифференциальное уравнение Эйлера имеет вид

Данное уравнение может быть сведено к линейному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной   .

Частное решение однородного дифференциального уравнения Эйлера можно найти сразу в виде   , где    -- некоторая постоянная. Для нахождения этой постоянной надо подставить решение в уравнение и решить получившееся характеристическое (алгебраическое) уравнение относительно   . При этом каждому вещественному корню  кратности m будет соответствовать m частных решений   ,   ,   ,... Каждой паре мнимых корней   кратности m соответствует m пар частных решений   ,   ,   ,   ,...

Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера можно решать методом вариации постоянных (предварительно необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения). 

ИЛИ

Уравнение (1)

называется неоднородным линейным уравнением Эйлера, а уравнение без правой части (2)

называется однородным линейным уравнением Эйлера.

    Уравнения  (1)и(2) подстановкой   приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

            Уравнения

 приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи замены

   26, Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Имеем линейное однородное уравнение 2-го порядка

(*)

где р и q - постоянные действительные числа. Найдем частные решения в виде

у = е^kх, где k = const; тогда

Подставим в уравнение (*):

Т.к. , то, - характеристическое уравнением по отношению к уравнению (*).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: обозначим их k₁ и k₂.

Возможны следующие случаи:

I. k₁ и k₂ – действительные, ;

частные решения:

Эти решения линейно независимы, т.к.

общее решение имеет вид

II. k₁ и k₂ - комплексные числа;

Частные решения:

Общее решение:

(#)

Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые. При р=0, уравнение (*) имеет вид

Характеристическое уравнение принимает вид

Корни характеристического уравнения

.

Решение (#) принимает вид

III. k₁ и k₂ - действительные равные числа .

Частные решения: ,

Общее решение: