3. Теорема существования решения задачи Коши дифференциального уравнения первого

порядка.

Условие (2) называется начальным условием или условиями Коши. (2)

Под задачей Коши будем понимать задачу об отыскании решения уравнения (1) удовлетв.данным (2)

Геометрически это означает, что из всего множества интегральных кривых нужно выделить ту интегральную кривую, которая проходит ч/з .

Естественно встаёт вопрос, есть ли вообще решение у уравнение (1), а если и есть, то сколько таких, удовл.условию (2).

Теорема 1.(теорема существования единственности решения) – если функция f и её частная производная непрерывна в области D, то решения дифф.уравнения (1), удовлетв.начальным условиям (2) существенно и единственно.

4. Зависимость решений от начальных данных и от параметров. Общим решением уравнения (1) в области Д называется функция , зависящую от одной производной постоянной С и удовл. Следующим условиям:

1)одна удовл.уравнению (1) при допустимых значениях постоянной С.

2)каковы бы ни были нач данные (2) всегда найдётся значение С₀ постоянной С такое, что решение удовл.этим нач данным, т.е.

Всякое решение получаемое из общего решения при конкретном значении с=с₀ наз частным решением уравнения (1).

Неявное задание общего решения f(x,y,c)=0, где С произвольная const наз общим интегральным уравнением (1)

Соотношение, которое получ из общего интеграла на конкретном значении С наз частным интегралом уравнения (1) 5 .Уравнение с разделяющими переменными Дифф уравнения 1-го порядка вида называется дифф уравнением с разделёнными переменными.

Для его разрешения достаточно проинтегрировать неравенство (1)

Т.о. (2)есть общий интеграл уравнения (1).

Уравнение вида:

Называется уравнением с разделяющимися переменными. Для его разрешения разделим неравенство (3) на произведение.

получим:

Кот относится к классу уравнений с разделяющимися переменными, т.е. к классу уравнений вида (1), а значит выражение:

есть общий интеграл уравнения (3).

Заметим, что при делении уравнения на произведение могут быть потеряны решения при кот это произведение обращается в 0. Такие решения если будут, то будут особыми.

Значит, чтобы найти особые решения уравнения (3) необходимо прировнять произведение к 0, т.е. и проверить является ли корни уравнения решения для уравнения (3).

6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция ( f,y ) , наз однородной ф-ей степени m, если для всех x и у из обл. опред . D(f) выполняются при любых значения параметра f( x, Дифф-ое ур-ие вида:M(x,y)dy+N(x,y)dx=0 (1)наз. Однородным если ф-ия M ,N однородный одной и той же степени.Однородное ур-ие (1) можно привести к ур-ию с разделяющимися переменными ,а зн может быть проинтегрирована в квадратах. В ведем в рассмотрение новую ф-ию y=xu (2) и подставим в ур-ие (1) M(x,xu)d(xu)+N(x,xu)dx=0 , тогда получаемx M(1,u)du+(u M(1,u)+N(1,u)dx)=0—данное ур-ие относиться к классу с разделяющими переменными ,разделим : du+dx/x=0---ур-ие с разделенными переменными . Его общий интеграл: + = (3) ln - ln + x=C exp ( )—(4) Т.о (4) есть интегральное ур-ие (3).Заметим ,что при разделение переменных могут быть потеряны решения вида u=a, где а –корень ур-ия :uM(1,u)+N(1,u)=0 Выполняя обратную замену согласно(2) подставим (4) вместо u=x/y, получим общее интегральное ур-ие(1).В ур-ие (1) выполняем следующие преобразования : M(x, x )dy+N(x, x )dx=0 dy/dx= y’=- , y’(x)=f(y/x) (5) Т.о доказали ,что однородное дифф. ур-ие можно привести к виду (5).Ур-ие вида : y(x)=f( )—(6) ,для которых выражение можно привести к однородному ур-ию: где - координаты точки пересечения прямых : u= , то есть решим системы .Если то прямые параллельны (или совпадают) ,поэтому введя в рассмотрения новую ф-ю u , по формуле: u= или u= , ур-ие (6) приведем к ур-ию с разделяющимися переменными .Ур-ие (1) будет наз. обобщенным однородным ,если удается подобрать такое число ,что левая часть ,этого ур-ия становится однородной функцией некоторой степени m относительно x,y,dx,dy при этом система х- величина измерения 1,у- величина измерения ,dx- измерение 0, dy- величина измерения .Тогда наз величиной неоднородности .Обобщенное однородное ур-ие сводится к ур-ию с разделяющимися переменными с заменой :y=u . 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. y'(x)=a(x)y+b(x)—(1) ур-ие линейное дифф ур-ие 1-ого порядка.Vx y'(x)=a(x)y—(2)-однородное ур-ие т.о ,если b(x) ,то (1) наз. неоднородным (1),(2) наз. соответственно. Заметим ,что (2) можно отнести к классу с разделяющимися переменными .В связи с этим можно интегрировать 2 способом ур-ие (1):1. Метод Лагранжа : При решении в начале вместо неоднородного (1) находим решение однородного(2): , = (4) 2. Ур-ие содержащее независемой переменной х,т.е имеет вид:F(y,y’,…, —(5).Порядок данного ур-ия можем понизить на единицу ,введя в рассмотрение функцию z=y, причем будет новой функцией z=z(y).Чтобы выполнить данную замену в ур-ие (5)необходимо выразить через саму ф-ию z и ее производную :z’=dz/dy, тогда y'’= ( = y’’= = как видим из вычисленной производной ф-ии у к-го порядка выражается через производные ф-ии z порядков к-1 и ниже, что приводит при подставке и в ур-ие (5) понижение порядка на единицу .В частности если ур-ие (5) ур-ие 2-го порядка ,то указанная замена приводит его к ур-ию 1-го порядка т.о. с помощью указанной заменой ,ур-ие (5) приводится к виду: =(y,z, ) его общее решение зависит от z=z(y, . Учитывая замену ,получим ур-ие с разделяющимися переменными ,метод интегрирования который рассматривали ранние. 3. F(х,y,y’,…, —(6) является производной некоторого дифф-го выражения (n-1)- го порядка Ф(х,y,y’,…, --(7)представляет собой дифф-ое ур-ие порядка (n-1),т.е. понизили порядок ур-ия (6)на единицу. Такое выражение (7)наз. 1-ым интегралом ур-ия (6). Определение :Дифф-ое ур-ие (n-1) –го порядка ,содержащее одну произвольную константу эквивалентная данному дифф-му ур-ию n-го порядка будем наз. 1-м интегралом этого дифф-го ур-ия порядка n.

8. Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним. Использование нтегрирующего множителя. Ур-ие полных дифф-ов: Пусть дифф-ал выражения: M(x,y)dx+N(x,y)dy-- является полным дифф-ом некоторой ф-ии u=(x,y) , тогда M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 –(2) ур-ие в полном дифф-але ,для нахождения полного интеграла (2) достаточно подставить (1)в (2). Получим: du=0 u(x,y)=c , где с—произвольная константа . Теорема 1: (2) будет ур-ие в полном дифф-ле тогда и только тогда, когда на обл. заданного ур-ия выполняется —(4’) Докозательство : Если (2) есть в полном дифф-м то справ.(1) (5’) , , = Подставим в соотношение (5’) получим (4’).Если выполнится (1),то (2)—ура-ие в полном дифф-ле. Теорема доказана! M(x,y)dx+N(x,y)dy=0—(1) , --(4) du= dx+ dy= M(x,y)dx+N(x,y)dy , (5). Нахождение из системы (5) : u(x,y)= --(6) , ( )=N(x,y) . Из последнего равенства находим и подставляем его в (6).Восстанавливаем ф-ию u(x,y), с помощью которой описывается ур-ие (1). Интегрирующий множитель . Рассмотрим ур-ие вида (1),где ф-ия M и N и их частные производные определены в обл D. Пусть для ур-ия (1) выполняется нер-во (2): (2). Тогда ур-ие (1) не явл ур-ие полных дифф-ов. Однако иногда удается подобрать такую ф-ию ,что преобразование ур-ие: M(x,y)dx+ N(x,y)dy=0 (3) Будет ур-ие в полных дифф-ах.Такая ф-ия наз. интегрирующим множителем для ур-ия (1). Полагаемся найти ур-ие ,которому должны удовлетворять интегрирующий множитель .Поскаольку (3) ур-ие полных дифф-ов,то согласно критериям получаем : (4) Ур-ие (4), есть ур-ие с частными производными .Нахождение общего решения такого ур-ия вообще говоря задача очень сложная ,чем непосредственно интегрирования ур-ия (1).Однако, для сведенья ур-ие (1) к ур-ию полных дифф-ов (3).Достаточно найти не все ф-ии ,а только одну,т.е. достаточно знать один интегрирующий множитель .Поэтому вместо общего решения ур-ия (4) чаще всего ищут всего одно его частное решение .С этой целью полагают ,что ф-ия является ф-ий сложной от выполнения конкретной ф-ии.Чаще всего проверяют ур-ие (4)вида : Например в 1-м случае ,если предположить ,что интегр. множитель зависит только от х, и не зависит от у ,то частная производная : и ур-ие (4) принимает вид : это простейшее дифф-ое ур-ие 1-го порядка .Интегрируем : получаем .Положим С=1,т.о интегральный множитель ур-ия (1)является ф-ей аргумента х, то он имеет вид: (5).Из (5) вытекает критерий,когда интегральный множитель является ф-ей аргумента х для этого необходимо ,что бы : dx.Аналогично с остальными ф-ми.