2. Расчет линейного коэффициента парной корреляции

Уравнение парной линейной регрессии всегда дополняется определением коэффициента линейной корреляции:

Коэффициент линейной корреляции равен:

Полученное значение коэффициента говорит о наличии прямой корреляционной связи между продолжительностью эксперимента и длиной кристалла. Согласно шкале Чеддока, значение 0,7336 свидетельствует о сильной связи между факторами.

3. Оценка линейной модели (коэффициент детерминации и f-критерий Фишера)

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента линейной корреляции и показывает, какая доля дисперсии результативного признака y объясняется изменением факторного признака (отражает качество подбора линейной функции). В данном случае коэффициент детерминации равен:

Это означает, что 53,8% дисперсии результативного признака объясняется изменением факторного признака. Полученное значение говорит о том, что линейная регрессия недостаточно точно описывает зависимость между продолжительностью эксперимента и длиной кристалла.

Оценка значимости уравнения в целом производится обычно с помощью F-критерия Фишера, значение которого вычисляется как

,

где .

Используя коэффициент детерминации, можно вычислить значение F-критерия Фишера по формуле:

.

F-критерий Фишера равен:

Значение F-критерия для степеней свободы k₁=1 и k₂=31 и уровня значимости 0,05 (F_крит) равно 4,16 (FРАСПОБР(0,05;1;31). Поскольку F_факт>F_крит (36.122 >4.16), нулевая гипотеза отклоняется, уравнение регрессии на уровне значимости 0,05 признается статистически значимым, а воздействие признака х на у – существенным.

При построении регрессионной модели с помощью процедуры Регрессия рассчитывается Значимость F – вероятность значения F_факт. В данном случае эта величина равна 0. Поскольку рассчитанная значимость F ниже установленного уровня значимости, уравнение регрессии является статистически значимым.

4. Оценка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-статистики

Параметры a, b и коэффициент корреляции были вычислены для одной выборки, для другой выборки из той же генеральной совокупности они будут иметь другие значения, но изменчивость этих значений можно измерить с помощью величины, которая называется стандартной ошибкой. Обозначим стандартные ошибки a, b и коэффициента корреляции соответственно m_a, m_b и m_r. Они вычисляются по формулам:

.

Значения стандартных ошибок рассчитываются автоматически при построении модели с помощью процедуры Регрессия.

Стандартная ошибка для коэффициента регрессии:

Стандартная ошибка для свободного члена:

Стандартная ошибка для коэффициента корреляции:

Оценку статистической значимости параметров a, b уравнения регрессии и коэффициента корреляции проводят с помощью t-статистики Стьюдента и построения доверительных интервалов для каждого из показателей.

Нулевая гипотеза (Н₀) заключается в том, что показатели a, b и незначительно отличаются от нуля, т.е. можно считать a=b= =0.

Фактические значения t-статистики Стьюдента определяются по формулам:

T-критерий Стьюдента для коэффициента регрессии:

Критерий Стьюдента для свободного члена:

Критерий Стьюдента для коэффициента корреляции:

Фактические значения t-статистики Стьюдента сравниваются с критическими. Критическое значение t-статистики для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 31 равно 2,040. Поскольку все рассчитанные значения t-статистик превышают критическое значение, параметры регрессии являются статистически значимыми.

Построим доверительные интервалы для a – , где , и для b – , где . С вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

Расчет доверительных интервалов для параметров регрессии приведен в табл. 2.

Таблица 2

Расчет доверительных интервалов для параметров регрессии

	a	b	Rxy
Стандартные ошибки	0,0201	2,3600	0,1221
t-статистики (фактические)	6,010	6,649	6,010
t-статистика критическая	2,040	2,040	2,040
Нижняя граница доверительного интервала	0,080	10,879
Верхняя граница доверительного интервала	0,162	20,505

Нижняя граница доверительного интервала для параметра a:

Верхняя граница доверительного интервала для параметра a:

Доверительный интервал для параметра b рассчитывается аналогично.