Функции синус, косинус и их графики, производные
Функция y = sin(x).
Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".
Свойства функции y = sinx.
Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при
.Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:
.Функция обращается в ноль при
,
где 
, Z –
множество целых чисел.Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть
.Функция синус - нечетная, так как
.Функция убывает при
,
возрастает
при 
.Функция синус имеет локальные максимумы в точках
,
локальные
минимумы в точках 
.Функция y = sinx вогнутая при
,
выпуклая
при 
.Координаты точек перегиба
.Асимптот нет.
Функция y = cos(x).
График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:
Свойства функции косинус y = cosx.
Область определения функции косинус: .
Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .
Функция обращается в ноль при
,
где
, Z –
множество целых чисел.Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
Функция косинус - четная, так как
.Функция убывает при , возрастает при .
Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках
,
локальные
минимумы в точках 
.Функция вогнутая при , выпуклая при .
Координаты точек перегиба
.Асимптот нет.
Графики тригонометрических функций у = A sin [ω ( x+ α ) ] у = A cos [ω ( x+ α ) ] и т. д.
Начнем с простого примера.
Пусть нам требуется построить график функции у = sin (х + π/3). Для этого сравним данную функцию с функцией у = sin x, график которой мы уже умеем строить.
Пусть данная функция у = sin (х + π/3) при х = х0 принимает некоторое значение, равное y0. Тогда
y0 = sin ( х0 + π/3 ).
Но в таком случае функция у = sin x должна принять то же самое значение y0 при х = х0 + π/3 .
Таким образом, все значения, которые принимает функция у = sin (х + π/3) , принимает и функция у = sin х. Если х толковать как время, то можно сказать, что каждое значение y0 функцией у = sin (х + π/3) принимается на π/3 единицы времени раньше, чем функцией у = sin х.
Отсюда вытекает, что график функции у = sin (х + π/3 ) получается посредством сдвига синусоиды у = sin x по оси абсцисс влево на π/3 .
Аналогично можно было бы построить и графики таких функций, как у = cos (х + π/6 ), у = tg (х + π/4 ) и т. д.
Заметим, что с подобными задачами мы уже сталкивались в части 1, при построении графика функции у = cos х = sin (х + π/2) .
В программе Maple мы очень наглядно можем изобразить поведение функции у = sin (х + а ) , где а будет служить параметром анимации.Если при этом мы зададим пределы изменения а от 0 до 6,28 (2π) , то получим "плавно бегущую" влевосинусоиду.
Если бы нам нужно было построить график функции у = sin (х — π/3), то рассуждения, аналогичные приведенным выше, дали бы такой результат. Функция у = sin (х — π/3) принимает те же значения, что и функция у = sin х, только с запаздыванием во времени (если аргумент х интерпретировать как время) на π/3. Поэтому график функции у = sin (х — π/3) получается посредством сдвига синусоидыу = sin х по оси абсцисс вправо на π/3.
Аналогично можно было бы построить и графики таких функций, как у = cos (х — π/6 ), у = tg (х — π/4 ) и т. д.
Теперь рассмотрим более сложные примеры. Пусть нам нужно построить график функции у = A sin [ω ( x + α ) ]. Для этого сравним данную функцию с функцией у = A sin ωх, график которой мы уже умеем строить .
Предположим, что функция у = A sin [ω ( x + α ) ] при х = х0 принимает некоторое значение, равное у0. Тогда
у0 = A sin [ω ( х0 + α ) ] .
Это соотношение показывает, что функция у = A sin ωх при х = х0 + α принимает то же самое значение у0. Поэтому все те значения, которые принимает функция у = A sin [ω ( x + α ) ], принимает и функция у = A sin ωх. При этом каждое значениеу0 принимается первой функцией на α единиц времени (если х толковать как время) раньше, чем второй функцией. Но это означает, что график у = A sin [ω ( x + α ) ] получается посредством сдвига графика функции у = A sin ωх по оси абсцисс влевона α.
Например, кривая у = 3 sin [ 2 (x + π/4 )] получается посредством сдвига кривой у = 3 sin 2x влево по оси абсцисс на π/4
Кривая у = — 3 sin [ 2 (x + π/3 )] получается посредством сдвига кривой у = — 3 sin 2x влево по оси абсцисс на π/3.
Аналогично могут быть построены графики таких функций, как у = A sin [ω ( x— α ) ] у = A cos [ω ( x — α ) ] и т. д. Они получаются соответственно посредством сдвига графиков функций у = A sin ωх, у = A cos ωх и т. д. вправо по оси абсцисс на расстояние α.
На рисунке вы видите график функции у = 3 sin [ 2 (x — π/4 )] , полуученный посредством сдвига графика функции у = 3 sin 2x вправо по оси абсцисс на расстояниеπ/4.
