7. Определение скалярного произведения векторов, свойства, в ортонормированном базисе Скалярное произведение векторов – число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

A*b= ax*bx + ay*by + az*bz

Свойства: 1) произведение суммы двух векторов равно сумме проекций; 2) при умножении вектора на число его проекция то же умножается на это число;

8. Определение векторного произведения векторов, свойства, в ортонормированном базисе

Векторное произведение векторов – вектор С, которое определяется тремя условиями: |c|=|a|*|b|*sinf ; с перпендикулярно в; а, б, с – правая тройка (упорядоченая тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу, из конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого ко второму виден в направлении противоположном направлению движения часовой стрелки)

Свойства: 1) a*b = -a*b; 2) ka *b = k(a*b); 3) a*0=0; 4) a(b*c)= ab + ac; 5) a*b=0 если a параллельно b

9. Смешанное произведение 3х векторов. Геометрический смысл, свойства, пример в ортонормированном базисе

Смешаное произведение трех векторов – это число, которое получается от умножения векторного произведения а*б скалярно на с

Геометрический смысл: результат смешанного произведения – это объем параллелепипеда, построенного на а, б, с

10. Условия ортогональности, коллинеарности и камплонарности

Условие ортогональности: а б (с=а*б*Cosf) cos90=0

ax*bx + ay*by + az*bz = 0

11. Деление отрезка в данном отношении, расстояние между двумя точками в R2 и R3

x = справедливо для y, z

12. Померные координаты и их связь с декартовыми прямоугольными. Построение кривых в системе координат

13. Вывод уравнения прямой в плоскости проходящей через точку, перпендикулярно данному вектору

14. Получить общее уравнение прямой на плоскости и рассмотреть его частные случаи.

15. Получить уравнение прямой в отрезках на осях

16. Получить каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве

17. Получить параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве

18. Поучить уравнение прямой проходящей через 2 точки на плоскости

19. Получить уравнение пучка прямых на плоскости и построение прямой с условным коэффициентом

20. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости и в пространстве, формула расстояния от точки до прямой на плоскости

(L1)|| (L2) если n1||n2 = и k1=k2 – условие параллельности

(L1) ˫(L2) если n1 * n2 = 0; Cosf = 0; A1*A2 + B1*B2 = 0 и k1*k2=-1 – условие перпендикулярности

расстояние от точки M ( ) до прямой

21. Каноническое уравнение эллипсиса, эксцентриситет, разновидности эллипсиса, Каноническое уравнение гиперболы, асимптоты гиперболы, эксцентриситет гиперболы, разновидности

22. Общее уравнение прямой второго порядка, окружность. Каноническое уравнение параболы, разновидности

23. Получить уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

24. Получить общее уравнение плоскости. Частные случаи

25. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки(получить).Примеры.

26. Получить уравнение плоскости в отрезках на осях

27. Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости, нахождение угла между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности

А) Формула

.

Строгая формулировка

Если плоскость задана уравнением  , то расстояние   от точки   до этой плоскости можно вычислить по формуле .

Б) УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Р ассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами   и   плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов   или  . Поэтому  . Т.к.  и  , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

В) Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы   и   параллельны, а значит  .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

 или 

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно,  или  .

Таким образом,  .