2. Орієнтована дуга.

3 . Біорієнтована дуга.

За допомогою біорієнтованої дуги можна описати орієнтовані і неорієнтовані дуги.

В залежності від дуг мережі класифікуються на орієнтовані, неорієнтовані та біорієнтовані.

Мережа називається зв’язаною, якщо можна з будь-якої точки потрапити в будь-яку іншу точку.

- це не зв’язана мережа.

Мережі можуть бути:

• однополюсні,

• багатополюсні.

В однополюсних мережах стік і початок задаються жорстко. Задача СПУ є однополюсною.

Для багатополюсних мереж стік і початок є перемінними, тобто S та T – змінні полюси.

Fij - потік для мережі або пропускна спроможність мережі, не обчислюється арифметично, а тільки шляхом моделювання. Моделювання є функцією для всіх потоків:

У кожній мережі можна виділити якусь частина G=(V^*,D^*).

Наприклад:

Ланцюг 1234

F ij = min {fij} _ij  G для всіх ділянок, що належать графу

Цикл - це ланцюг, де закінчення останньої дуги є початком першої. 12341.

Контур - це цикл, що має найбільшу довжину.

Д ерево - це частина мережі без циклу.

Д ля кожного вузла мережі діє закон Кірхгофа (сума вхідних потоків дорівнює сумі вихідних потоків).

Остов - дерево, що охоплює всі вершини мережі.

Розріз – це частина мережі, що робить мережу не зв’язною.

Пропускна спроможність розтину дорівнює сумі пропускних спроможностей дуг Fp = 7.

Теорема:

Пропускна спроможність мережі дорівнює мінімальному розрізу (або максимальному потокові).

F16 = 5 F24 = 5 F36 = 4

//вопрос 25

Класи задач мережної оптимізації.

7. Задача про найкоротшу відстань (найкоротший цикл, ланцюг).

8. Задача про мінімізацію мережі (пошук мінімального остова).

9. Задача про календарне планування (окремий випадок про найкоротшу відстань, задача керування проектом).

10. Визначення максимального потоку і пропускної спроможності мережі (аналіз надійності мережі).

11. Визначення полюсів із метою забезпечення максимального потоку.

12. Рішення комбінаторних задач, що можуть містити такі етапи:

• Генерація мережі або графа шляхом моделювання;

• Використання алгоритмів мережної оптимізації (вибирається оптимальна частина мережі).

Засоби представлення мереж.

Існує чотири засоби представлення мереж:

• за допомогою матриці суміжності;

• за допомогою матриці інцидентності;

• за допомогою вузлів (подій);

• за допомогою потоків, дуг (робіт) по кожному вузлі.

2. Матриця суміжності.

 1, якщо є дуга з вершини i у вершину j

Xij = 

 0, інакше

Xij  X

2. Матриця інцидентності.

 1 Якщо з вершини i випливає дуга j (ij;

Zij = -1 якщо у вершину i випливає дуга j (ij);

 0 інакше .

Zij  Z

3. Вузли.

- для орієнтованої мережі:

- для біорієнтованої мережі:

4. Потоки, дуги.

Цей засіб легше всього програмується, але займає багато пам'яті:

Засіб використовується тільки для орієнтованих мереж (задача СПУ).

_____________________________________________________

Білет 26

Задача про мінімальний остов.

В університеті між дисплейними класами необхідно провести телефонну лінію з використанням накладення кабелю мінімальної довжини.

Необхідно:

• у в'язати всі вузли мінімальним кабелем;

• не повинно бути короткого замикання (циклу);

сума всіх дуг дорівнює кількості вузлів -1

Xij  {0,1} _i _j

(V, D*) = остов

Алгоритм заснований на методі гілок і границь.

В якості опорного рішення приймається остов, що дорівнює порожній множині. На кожній ітерації вибирається такий вузол, що має мінімальну довжину до одного з вузлів остова.

Кількість ітерацій N-1.

{ }

{1}

{1,2}

{1,2,3}

{1,2,3,6}

{1,2,3,6,4}

{1,2,3,5,6,4}

___________________________________________________

Білет 27

3)Методи відкидання (методи Гоморі 1,2).

Суть методу в слідуючому:

а) отримання першого рішення методом Simple або Double методом

б) на основі максимальної дробової змінної формуються нові обмеження (відкидання дробової частини).

в) рішення нової системи рівнянь, розмірністю (m+1; n+1)

г)повторення пунктів б) і в) доки рішення не буде цілочисельне.

Гоморі –1 : для умови коли всі змінні повинні бути цілечисельним

Загальний вид задачі НП:

f(x1,x2, ... , xn) extr

g1(x1,x2, ... , xn) 0

gn(x1,x2, ... , xn) 0

f( ) і g( ) - нелінійні

Для випуклих областей НП можна провести пряму і точки , що належать області і належать прямій.

Теорема існування екстремуму.

Якщо F - безперервна на множині R, то вона досягає хоча б один раз мінімуму чи максимуму.

Теорема місця розташування екстремуму.

Якщо F - функція декількох змінних x1, ... ,xn то максимум досягається в одній або декількох таких точках:

а) множина стаціонарних точок: генерується система алгебраїчних рівнянь (шляхом диференціювання по x1, ... ,xn) і вирішується система. Одержали вектор X= x1, ... ,xn

X= (x1, ... ,xn)

б) множина точок границь в обмеженні. Для цього необхідно записати цільову функцію, обмеження, і вирішити це системою рівнянь.

в) з метою, щоб переконатися в існуванні максимуму або мінімуму, необхідно дослідити округу: взяти будь-яку точку і переконатися, чи більша вона від знайденої, якщо більше - рішення невірне, отже – це мінімум.

На цьому базується класичний метод визначення безумовного екстремуму:

1) Знаходиться множина стаціонарних точок , що визначається на основі приватного диференціювання по x1, ... ,xn, та вирішується система алгебраїчних рівнянь.

2) Підставляється кожна стаціонарна точка в обмеження, вона приймається як умовний екстремум або відсікається з таких причин:

а) не задовільняє обмеженням;

б) не задовольняє знаку екстремуму;

в) гірше чим інші екстремуми;

3) Досліджуються межі F з кожним обмеженням g і формується .

4) Досліджується кожна точка , і порівнюється з екстремумом, отриманим на етапі .

Результат: отримано абсолютний екстремум.

Приклад: Рішення безумовної оптимізації.

Безумовна оптимізація: коли оптимум знаходиться шляхом виявлення тільки стаціонарних точок.

f(x1,x2) = 10x1 + 20x2 + x1x2 - 2x1² - 2x2²  extr

= 10 + x2 - 4x1 = 0 Розмірність = 2

= 20 + x1 - 4x2 = 0 x = (4,6) x0 = (4. 001,6)

х² + у² + z² min

х + у + 3z = 2

5x +2y + z = 5

______________________________________________

Білет 28

Даний термін здобуто із теоретичних основ електротехніки.

Нехай була задана слідуюча умова:

А(11,11,8);

В(5,9,9,7).

Побудова плану комунікацій та розрахунок потенціалів.

U

v

a₁

u₁=0

u₂=4

u₃=8

b₁

a₁

v₁=7

v₂=8

v₃=9

v₄=10

b₂

a₂

b₃

a₃

b₄

Будуємо оцінювальну матрицю С₀.

v

0

4

8

u

7 8 9 10

Циклічний процес:

1)Пошук направляючого елемента:

;

Якщо направляючий елемент не знайдено,то рішення отримано в матриці X.

2)Побудова в матриці X замкненого ланцюжка. (Направляючий елемент для даної задачі (-7)). Визначення -мінімальний елемент серед непарних.

=min(x₁,x₃,x₅,…);

=min(6,7,8)=6

3)Перерахунок матриці X: віднімаємо в ланцюжку  з непарних та додаємо  до парних.

Значення ЦФ корегується:

Z=Z-=150-7*6=108

ПРИМІТКА:

1)ЦФ повинна поліпшуватися(окрім випадку,коли направляючий елемент  дорівнює ).

2)Контроль вірності обчислювань повинен завжди дорівнювати поточній митриці X на вичаткову матр.С:

3)Перерахунок матр.С₀:

а

+7

)послідовно викреслюємо рядок, починаючи з напрямляючого елемента; потім викреслюємо стовпець по істотним нулям, і т.д. до тих пір,поки всі істотні нулі не будуть викреслені.

-7

Істотний нуль: коли , а якщо  , X_ij.

б)Додавання до рядків “”;

віднімання від стовпців “”.

І

Ланцюжок: (2-1)

(2-3)

(3-3) =min(2,1,5)=1

(3-4)

(1-4)

(1-1)

(2-1)

терація 2.

Z=108-8=100;

Ітер.3.

Ланцюжок: (1-3)

(1-1)

(2-1) =min(4,1)=1

(2-3)

(1-3)

Z=100-5*1=95

Ланцюжок : (3-2)

(3-3)

(1-3)

(1-1)) =min(8,3,9)=3

(2-1)

(2-2)

(3-2)

Ітер.4

Z=95-3*2=89

Z=4*5+7*3+5*2+6*4+3*3+5*1=89

Рішення знайдено.

___________________________________

Білет 29

C – максимально можлива кількість ітерацій ( умова перевірки на зацикленість ) ;

n – кількість рівнянь ;

m - кількість змінних в канонічному вигляді .

Симплекс метод основано на постійних табличних перетвореннях.

	Cx	Bx	A0	A1	. . .	Am
1
2
3
n
			0	1	. . .	m

B_x - базисні змінні ;

C_x - коефіціенти цільової функції при базисних змінних ;

- симплекс різниця .

A_1… A_m - коефіціенти в обмеженнях

A₀ - Права частина

ДП – (оптимізація)- це метод,за допомогою якого можливо розв’язувати любі задачі, але насамперед це пошук змінних які залежать від змінних, тобто

Типові задачі.

1.Задача про розклад у ВНЗі.

2.Задача про розклад поїздів та інший транспорт.

3.Задача про розподіл ресурсів між підприємствами.

4.Задача про капіталовложення (інвестиції).

5.Задача про набір висоти самольотів.

6.Задача про завантаження торгового судна з майбутнім розвантаженням (по кретерію Диферента).

Особливості ДП.

1.Багатоповерховість t=1,2,...,T.

2.Рішення будуються ціленапрямленим перебором в прямому та зворотному порядку, при цьому першим етапом є останній.

3.На кожному етапі t дійсний оптимум цільової функції як відносно етапу t, так і відносно слідуючих етапів t+1, t+2,...,T.

В результаті ЦФ може розглядатися як вектор

Z=(z_1,z_{2, ...}z_n).