Цілочисельне програмування гоморі 2.

Використовується у випадку , якщо всі змінні чілочисельні.

Алгоритм Гоморі 2 аналогічний до Гоморі1

a _i0=b_i , якщо j=0

, якщо x_j-ціле та

y_i = , якщо x_j-ціле та

, якщо x_j-не ціле та a_ij0

, якщо x_j-не ціле та a_ij0

Прямі методи – метод множників та узаг правило Лагранжа, теор. Куна Такера, класичний метод.

Непрямі методи – сепарабельне прогр., квадратичне прогр.,геометричне прогр., стохастичне програм.

Числові методи – прямий перебір, метод хорд, дихотомія, метод Монте-Карло

__________________________________________

Білет 21

Аналіз умови невід’ємності . Якщо не для всіх змінних задана умова невід’ємності, то кожну таку змінну (невід’ємну) замінюють різницею двох додатніх .

Права частина повинна бути додатньою . Якщо в будь яких обмеженнях права частина від’ємна, необхідно помножити її на (-1) для корегування знаку .

Якщо цільова функція Z(f)  min ,то необхідно змінити коефіцієнти на протилежні , а Z(f)  max .

Для кожної нерівності типу “” додаємо базисну змінну .

Якщо обмеження типу “=” , додаємо одну М-змінну (велике вигадане число , напр.,10,20,...) .

Якщо обмеження типу “ ” ,додаємо різницю двох додатніх , одна з яких М-змінна.

Даний метод оснований на постійному поліпшенні неприпустимості рішень.

Мета : X_nmax.

ВІДЗНАКА ПОДВІЙНОГО симплекс методу (ПСМ) від ПРЯМОГО (ПРСМ)

Вибір направляючого елементу (спочатку визначається рядок :

min( X_i0  X_i0  0 ) , а потім стовпець : ;

Канонічна форма ПСМ повинна мати рівність та одиничний базис .

Для приведення до канонічного виду необхідно розрахувати псевдоплан . Псевдоплан – це нова модель , що містить в собі одиничний базис (сопряжённый базис) та неприпустиме опорне рішення .

Примітка : існують типові моделі , для яких псевдоплан можна записати відразу (наприклад, Задача змінно-добового планування ) .

Якщо в ПРСМ повинна бути хоча б одна Ітерація , то в ПСМ рішення може бути отримане відразу після перерахунку псевдоплану .

Всі останні Подвійні симплекс-перетворення аналогічні ПРСМ .

__

Узагальнене правило Лагранжа.

Ідея: рішення задачі полягає в тому, що потрібно поступово будувати функцію Лагранжа, і на кожній ітерації необхідно знаходити рішення по Лагранжу і підставляти в обмеження , що залишилися.

Якщо рішення задовольняє обмеженням, то оптимальне рішення знайдене, якщо ні - в функцію Лагранжа додається одне з обмежень. Ітераційний процес продовжується.

Опис алгоритму.

1) Будуємо функцію Лагранжа на основі цільової функції й обмежень типу рівності = x² + y² + z² + ₁(5x - 2y + z - 5)  extr і вирішуємо задачу безумовної оптимізації

= 2x + 5₁ = 0

= 2y - 2₁ = 0

= 2z + ₁ = 0

= 5x - 2y + z - 5 = 0 R=(..., ..., ...)

Після рішення підставляємо отримані x, y, z в обмеження , що залишилися, якщо задовольняє, то рішення знайдено. Інакше:

2) будуємо функцію Лагранжа з урахуванням такого обмеження, що не задовольняє попередньому рішенню. Проводиться умовна оптимізація = x² + y² + z² + ₁(x + y + 3z - 2) + ₂(5x + 2y + z - 5)  extr.

Генерується система з п'яти рівнянь і вирішується. І так далі, доки не будуть розглянуті всі обмеження.

Примітка. Якщо на етапі рішення системи рівнянь рішення відсутнє, то з використанням методу множників Лагранжа рішення відсутнє. У цьому випадку можливо 2 висновки:

• рішення дійсно відсутнє, ОДР не обмежена зверху або знизу;

• рішення є, але використовуючи даний метод, знайти його не можна.

____________________________

Білет22

Задача призначення.

- задача про розподілення обладнання

Потрібно розподілити 5 екскаваторів між 4 кар’єрами з метою максимізації виробітки.

5 5

5 -100 7 -100 0

j = 1,M 7 8 8 -100 0

4 4 12 10 0

I = 1,N 8 7 10 11 0

10 -100 -100 14 0

X_ij  0 ;

Для приведення задачі до закритого вигляду , необхідно ввести (додати) фіктивне обладнання.

Задача про розклад.

Для кожної пари вирішується задача призначення потоку групи в аудиторії.

Критерієм є вмісткість аудиторії, розвантаження сходів(мінімізація хвилин переходу) .

C_ij-хвилини переходу; і - номер групи; j-аудиторія.

j=1,M ; і=1,N ;

3)Розподілення користувачем в класі ЕОМ.

Задана кількість користувачів та кількість комп’ютерів. Кожен користувач вирішує свою задачу за окремою ЕОМ. Необхідно розподілити користувачів

по критерію мінімума.

4)Транспортна задача.

Склад Споживач

A B

- вміщення матеріалів на складі;

- заявка.

С_ij - витрати

і=1,M ; j=1,N ;

5. Задача планування будівельного майданчика.

Багатокритеріальні задачі – клас задач, які мають не одну, а множину(вектор ) ЦФ

Z(z1,z2,…zn)

Z1=f1(x)->extr

Z2=f2(x)->extr

/……

Zn=fn(x)->extr

G1(x)=0

G2(x)=0

….

Gn(x)=0

До методів розв’язання багатокритеріальних задач можна віднести метод лінійної згортки та метод поступок

1. полягає в зведенні множини ЦФ до однієї ЦФ задопомогою коеф

z1=/\1f1(x)+/\2f2(x)+…+/\nfm(x)

Ідея методу: розрахунок /\(змінних лагранжа) за допомогою ранжування кожної цільової ф-ї. зведення всіх ЦФ до однієї одиниці вимірювання. Зведення всіх цільових функцій до одного знака

2. полягає в існуванніієрархії ЦФ

z2>z3>z1>……zn

ідея методу полягає в розробці алгоритму, в якому задача розв’язується згідно з ієрархією критерієв. Спершу задача розв за найвищим критерієм. Результат підстав в наступний блок і розв’язок відбувається за наступним критерієм. І так далі

___________________________________

Білет 23

Модель ЦЛП

Σс_ix_i->min , x_i=0,1,2,..., x_i≥0,

Σa_ijx_i ->b_j j=1,N

Додаткові умови:

1. Всі змінні повинні бути цілими.

2. На деякі змінні накладаються додаткові умови (деякі типу word, деякі типу REAL).

3.На змінні накладаються умови типу "0" "1" (задача про рюкзак): які речі потрібно брати з собою щоб їх маса не перевищувала ... кг.

4. На деякі змінні типу bооlean, деякі типу word і ті що залишаться - типу REAL.

В зв’язку з тим, що ми працюємо з процедурами з плаваючою ",", то відстежуючи цілочисельність необхідно використовувати змінну ε . =0.001

{x_i}≤ 

____________________________________________________

Білет24

Для будь-якої моделі існує поняття подвійної задачі - це перетворення задачі в одних змінних та запис – в інших.

Якщо задача має розмірність m*n ,її можна записати та розв’язати як n*m.

Математична модель для даного методу має вигляд

=

Теорема 1

Значення цільової функції і подвійної задачі співпадають, знаки - ні.

Якщо в прямій задачі Z  max , то в оберненій задачі

(подвійній) Z  min.

Якщо в прямій задачі функція необмежена зверху, то в подвійній – вона необмежена знизу.

Теорема 2

Пряма та подвійна задачі взаємопов’язані між собою.

Подвійна задача (ПЗ):

c ₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nmax y₁

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx₁=a_{10 .}

_{. . . .}

a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n=a_m0 y_m

x_i  0 і =1,n

Пряма задача (ПРЗ):

a ₁₀y₁+a₂₀y₂+…+a_m0y_mmin x₁

a₁₁y₁+a₁₂y₂+…+a_m1y_mc_{1 .}

_{. . . .}

a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_mc_n x_n

Правила переведення до ПЗ :

Кожному обмеженню виду “=” ПРЗ відповідаєзмінна ПЗ .

Кожній змінній ПРЗ відповідає обмеження виду ( чи ) ПЗ .

Коефіцієнт цільової функції ПЗ дорівнює правій частині ПЗ .

Якщо в ПРЗ умова невід’ємності обов’язкова, то в ПЗ ця умова відсутня.

Цільва функція змінює знак з max на min чи навпаки.

Обмеження ПЗ мають знак “”,якщо в ПРЗ ЦФmax.

Існує взаємозв’язок між змінними ПРЗ та ПР.

Правило множників Лагранжа.

Оптимум знаходиться для умови , якщо всі обмеження рівні нулю (прирівняні).

х² + у² + z² min

x + y +3z = 2

5x + 2y + z = 5

Ідея Лагранжа: завжди можна звернути всі цільові функції й обмеження в одну функцію, тобто якщо ми маємо:

,

то завжди можна ввести нові змінні _i і записати нову функцію Лагранжа: .

Продовжувати рішення потрібно аналогічно класичному методу (1 ЦФ: без умовної оптимізації).

= x² + y² + z² + ₁(x + y + 3z - 2) + ₂(5x + 2y + z - 5)  min

Розмірність 5.

= 2x + ₁ + 5₂ = 0(*)

= 2y + ₁ + 2₂ = 0

= 2z + 3₁ + ₂ = 0

= x + y + 3z - 2 = 0

= 5x + 2y + z - 5 = 0

Далі вирішуємо систему й одержуємо результат:

(x, y, z, ₁, ₂₎ = (0.804, 0.3477, 0.2855, -0.0869, -0.3043).

Потім рахуємо цільову функцію:

f(0. 804, 0. 3477, 0. 2855) = ...

Беремо будь-яку точку округи, наприклад:

F0(0. 804, 0. 3477, 0. 2855) і визначаємо (мінімум або максимум):

в залежності від того f>f0 ?

Знак можна визначити також використовуючи матрицю Гессе. Записується визначник, розмірністю 5х5. (*)

=640 обчислюється зн-ня визначника

Якщо визначник більше нуля значить це мінімум.

________________________________________

Білет 25

Задача призначення.

- задача про розподілення обладнання

Потрібно розподілити 5 екскаваторів між 4 кар’єрами з метою максимізації виробітки.

5 5

5 -100 7 -100 0

j = 1,M 7 8 8 -100 0

4 4 12 10 0

I = 1,N 8 7 10 11 0

10 -100 -100 14 0

X_ij  0 ;

Для приведення задачі до закритого вигляду , необхідно ввести (додати) фіктивне обладнання.

Задача про розклад.

Д ля кожної пари вирішується задача призначення потоку групи в аудиторії.

Критерієм є вмісткість аудиторії, розвантаження сходів(мінімізація хвилин переходу) .

C_ij-хвилини переходу; і - номер групи; j-аудиторія.

j=1,M ; і=1,N ;

3)Розподілення користувачем в класі ЕОМ.

Задана кількість користувачів та кількість комп’ютерів. Кожен користувач вирішує свою задачу за окремою ЕОМ. Необхідно розподілити користувачів

по критерію мінімума.

4)Транспортна задача.

Склад Споживач

A B

- вміщення матеріалів на складі;

- заявка.

С_ij - витрати

і=1,M ; j=1,N ;

5. Задача планування будівельного майданчика.

Багатокритеріальні задачі – клас задач, які мають не одну, а множину(вектор ) ЦФ

Z(z1,z2,…zn)

Z1=f1(x)->extr

Z2=f2(x)->extr

/……

Zn=fn(x)->extr

G1(x)=0

G2(x)=0

….

Gn(x)=0

До методів розв’язання багатокритеріальних задач можна віднести метод лінійної згортки та метод поступок

3. полягає в зведенні множини ЦФ до однієї ЦФ задопомогою коеф

z1=/\1f1(x)+/\2f2(x)+…+/\nfm(x)

Ідея методу: розрахунок /\(змінних лагранжа) за допомогою ранжування кожної цільової ф-ї. зведення всіх ЦФ до однієї одиниці вимірювання. Зведення всіх цільових функцій до одного знака

4. полягає в існуванніієрархії ЦФ

z2>z3>z1>……zn

ідея методу полягає в розробці алгоритму, в якому задача розв’язується згідно з ієрархією критерієв. Спершу задача розв за найвищим критерієм. Результат підстав в наступний блок і розв’язок відбувається за наступним критерієм. І так далі

Мережею або графом називається множина вершин і дуг, взаємозалежних між собою. G=(V, D).

Дуга:

1. Неорієнтована дуга - дуга, що має потік i, j, як у прямому, так і в оберненому напрямку.

0  fij  cij - обмеження.

cij - пропускна спроможність дуги або мережі.

c ij  {0,1} - для задач найкоротшого шляху. Кожна дуга може характеризуватися cij, tij, dij - довжина або час переміщення по дузі.