Узагальнене правило Лагранжа.

Ідея: рішення задачі полягає в тому, що потрібно поступово будувати функцію Лагранжа, і на кожній ітерації необхідно знаходити рішення по Лагранжу і підставляти в обмеження , що залишилися.

Якщо рішення задовольняє обмеженням, то оптимальне рішення знайдене, якщо ні - в функцію Лагранжа додається одне з обмежень. Ітераційний процес продовжується.

Опис алгоритму.

1) Будуємо функцію Лагранжа на основі цільової функції й обмежень типу рівності = x² + y² + z² + ₁(5x - 2y + z - 5)  extr і вирішуємо задачу безумовної оптимізації

= 2x + 5₁ = 0

= 2y - 2₁ = 0

= 2z + ₁ = 0

= 5x - 2y + z - 5 = 0 R=(..., ..., ...)

Після рішення підставляємо отримані x, y, z в обмеження , що залишилися, якщо задовольняє, то рішення знайдено. Інакше:

2) будуємо функцію Лагранжа з урахуванням такого обмеження, що не задовольняє попередньому рішенню. Проводиться умовна оптимізація = x² + y² + z² + ₁(x + y + 3z - 2) + ₂(5x + 2y + z - 5)  extr.

Генерується система з п'яти рівнянь і вирішується. І так далі, доки не будуть розглянуті всі обмеження.

Примітка. Якщо на етапі рішення системи рівнянь рішення відсутнє, то з використанням методу множників Лагранжа рішення відсутнє. У цьому випадку можливо 2 висновки:

• рішення дійсно відсутнє, ОДР не обмежена зверху або знизу;

• рішення є, але використовуючи даний метод, знайти його не можна.

______________________________________________________

Білет 19

Метод відкидання

Гоморі_1 Цілочисельне програмування гоморі 1.

Використовується у випадку , якщо всі змінні чілочисельні.

Алгоритм Гоморі 2 аналогічний до Гоморі1

a_i0=b_i , якщо j=0

, якщо x_j-ціле та

y_i = , якщо x_j-ціле та

, якщо x_j-не ціле та a_ij0

, якщо x_j-не ціле та a_ij0

Умова Куна - Таккера.

Ціль: аналогічно приведенню нерівностей до рівностей (алгоритм приведення до канонічного виду) у задачах ЛП здійснюється додаванням нових штучних змінних.

здійснюється так:

1) запровадження нових невід’ємних змінних S1, ... , Sn.

2) додавання квадратів змінних S1, ... , Sn (щоб при диференціюванні змінна не пропала) і формування нової функції Лагранжа.

На основі часткового диференціювання одержуємо систему:

Аналізуючи останнє обмеження:

Якщо _i  0, то Si = 0 і gi(x) = 0.

Звідси умова Куна – Таккера має вид:

Питання в тому, який оптимум ми шукаємо.

Тип оптимуму	f(x)	gi(x)	i
Максимум	Увігнута	Випукла	0
		Увігнута	0
		Лінійна	Не має обмежень
Мінімум	Випукла	Випукла	0
		Увігнута	0
		Лінійна	Не має обмежень

_______________________________________________

Білет 20