Правило множників Лагранжа.

Оптимум знаходиться для умови , якщо всі обмеження рівні нулю (прирівняні).

х² + у² + z² min

x + y +3z = 2

5x + 2y + z = 5

Ідея Лагранжа: завжди можна звернути всі цільові функції й обмеження в одну функцію, тобто якщо ми маємо:

,

то завжди можна ввести нові змінні _i і записати нову функцію Лагранжа: .

Продовжувати рішення потрібно аналогічно класичному методу (1 ЦФ: без умовної оптимізації).

= x² + y² + z² + ₁(x + y + 3z - 2) + ₂(5x + 2y + z - 5)  min

Розмірність 5.

= 2x + ₁ + 5₂ = 0 (*)

= 2y + ₁ + 2₂ = 0

= 2z + 3₁ + ₂ = 0

= x + y + 3z - 2 = 0

= 5x + 2y + z - 5 = 0

Далі вирішуємо систему й одержуємо результат:

(x, y, z, ₁, ₂₎ = (0.804, 0.3477, 0.2855, -0.0869, -0.3043).

Потім рахуємо цільову функцію:

f(0. 804, 0. 3477, 0. 2855) = ...

Беремо будь-яку точку округи, наприклад:

F0(0. 804, 0. 3477, 0. 2855) і визначаємо (мінімум або максимум):

в залежності від того f>f0 ?

Знак можна визначити також використовуючи матрицю Гессе. Записується визначник, розмірністю 5х5. (*)

=640 обчислюється зн-я визначника

Якщо визначник більше нуля значить це мінімум.

__________________________________________________

Білет18

Модель ЦЛП

Σс_ix_i->min , x_i=0,1,2,..., x_i≥0,

Σa_ijx_i ->b_j j=1,N

Додаткові умови:

1. Всі змінні повинні бути цілими.

2. На деякі змінні накладаються додаткові умови (деякі типу word, деякі типу REAL).

3.На змінні накладаються умови типу "0" "1" (задача про рюкзак): які речі потрібно брати з собою щоб їх маса не перевищувала ... кг.

4. На деякі змінні типу bооlean, деякі типу word і ті що залишаться - типу REAL.

В зв’язку з тим, що ми працюємо з процедурами з плаваючою ",", то відстежуючи цілочисельність необхідно використовувати змінну ε . =0.001

{x_i}≤ 

Класифікація методів розв’язку цлп.

1. Метод перебору варіантів розв’язку на основі закруглення.

-7x₁ + 9x₂ ->max

7x₁ + 3x₂ ≤ 6

7x₁ + x₂ ≤ 5

x₁ ,x₂ ≥0 та цілі

Розв’язавши графічно ми отримали відповідь

х =

Прямий перебір повинен дати всі можливі цілочисельні варіанти, при підставці їх в цільову функцію, де ЦФ "краща"- тей варіант ми і вибираємо.

1) 0 2 ! задовольняє

2) 1 2

3) 0 3 не задовольняє

4) 1 3 не задовольняє

Комбінаторний метод

2)Дискретне динамічне програмування (без сімплекс методу, на основі "лавинообразного" дослідження варіантів).

Потрібно сформувати рівні, кожен рівень при програмуванні створюється памяттю.

а)ОДЗ для кожного Х можна збудувати шляхом перевірки кожного обмеження

x₁= [0,0]

x₂= [0,2]

б) Динамічне дискретне программування на основі "лавинообразної" перевірки варіант.

3)Методи відкидання (методи Гоморі 1,2).

Суть методу в слідуючому:

а) отримання першого рішення методом Simple або Double методом

б) на основі максимальної дробової змінної формуються нові обмеження (відкидання дробової частини).

в) рішення нової системи рівнянь, розмірністю (m+1; n+1)

г)повторення пунктів б) і в) доки рішення не буде цілочисельне.

Гоморі –1 : для умови коли всі змінні повинні бути цілечисельним.

Гоморі –2 : частково (не на всі змінні накладається умова цілочисельності).

4) Метод (принцип) Розгалужень і обмежень.

5)Адитивний алгоритм (будується на постійному додаванніі) для задач Булевої оптимізації.

Задача про рюкзак (задача управління передачі файлів в режимі електронної пошти )де

Σс_ix_i->min ,

Σa_ix_i≤ b_j j=1,N

x_i є {0,1}

x_i – брати річ (файл) з собою;

с_i – цінність речі (розмір файлу);

a_i – маса речі (розмір файлу);

b_j – об’єм рюкзака (швидкість передачі даних, помножена на час передачі).