Задача про найкоротшу відстань для біорієнтованих мереж.

Модель аналогічна Дейкстра -1 (запис матриці суміжності).

Рішення розбивається на 3 етапи (Дейкстра-2).

1. перебування потенціалів у прямому порядку використовуючи ,

2. перебування оберненого, використовуючи

3. перебування , для , використовуючи

Моделювання й обчислення найкоротшого шляху.

1256 найкоротший шлях

13256

_______________________________________________

Білет 8

Метод засновано на табличних перетвореннях (Джордана-Гауса) моделі, що представлена в канонічному вигляді . Канонічний вигляд моделі – це вигляд, необхідний для роботи з методом чи з програмою на ЕОМ . Для кожного методу існують свої вимоги до канонічного вигляду .

Вимоги для приведення до канонічного вигляду (для даного метода) :

Z(f)  max , Z(f) – цільова функція ;

Наявність обмежень типу “рівність” ;

Наявність одиничного додатнього базису ;

Додатність правої частини ;

Невід’ємність змінних ;

Наявність додатнього опорного рішення .

Базисна змінна – змінна, яку потрібно додати в обмеження для отримання рівності та одиничного вектора .

Штучна змінна (M –змінна)- змінна, яку необхідно дописати в обмеження в якості базисної , а якщо необхідно – і в цільову функцію з коефіціентом М, з метою отримання при рішенні нуль.

Задача про найкоротшу відстань у білет №7

Білет№ 9

Для будь-якої моделі існує поняття подвійної задачі - це перетворення задачі в одних змінних та запис – в інших.

Якщо задача має розмірність m*n ,її можна записати та розв’язати як n*m.

Математична модель для даного методу має вигляд

=

Теорема 1

Значення цільової функції і подвійної задачі співпадають, знаки - ні.

Якщо в прямій задачі Z  max , то в оберненій задачі

(подвійній) Z  min.

Якщо в прямій задачі функція необмежена зверху, то в подвійній – вона необмежена знизу.

Теорема 2

Пряма та подвійна задачі взаємопов’язані між собою.

Подвійна задача (ПЗ):

c ₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nmax y₁

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx₁=a_{10 .}

_{. . . .}

a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n=a_m0 y_m

x_i  0 і =1,n

Пряма задача (ПРЗ):

a ₁₀y₁+a₂₀y₂+…+a_m0y_mmin x₁

a₁₁y₁+a₁₂y₂+…+a_m1y_mc_{1 .}

_{. . . .}

a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_mc_n x_n

Правила переведення до ПЗ :

Кожному обмеженню виду “=” ПРЗ відповідає змінна ПЗ .

Кожній змінній ПРЗ відповідає обмеження виду ( чи ) ПЗ .

Коефіцієнт цільової функції ПЗ дорівнює правій частині ПЗ .

Якщо в ПРЗ умова невід’ємності обов’язкова, то в ПЗ ця умова відсутня.

Цільва функція змінює знак з max на min чи навпаки.

Обмеження ПЗ мають знак “”,якщо в ПРЗ ЦФmax.

Існує взаємозв’язок між змінними ПРЗ та ПР.

Задача про мінімальний остов.

В університеті між дисплейними класами необхідно провести телефонну лінію з використанням накладення кабелю мінімальної довжини.

Необхідно:

• у в'язати всі вузли мінімальним кабелем;

• не повинно бути короткого замикання (циклу);

сума всіх дуг дорівнює кількості вузлів -1

Xij  {0,1} _i _j

(V, D*) = остов

Алгоритм заснований на методі гілок і границь.

В якості опорного рішення приймається остов, що дорівнює порожній множині. На кожній ітерації вибирається такий вузол, що має мінімальну довжину до одного з вузлів остова.

Кількість ітерацій N-1.

{ }

{1}

{1,2}

{1,2,3}

{1,2,3,6}

{1,2,3,6,4}

{1,2,3,5,6,4}

Білет 10

Аналіз умови невід’ємності . Якщо не для всіх змінних задана умова невід’ємності, то кожну таку змінну (невід’ємну) замінюють різницею двох додатніх .

Права частина повинна бути додатньою . Якщо в будь яких обмеженнях права частина від’ємна, необхідно помножити її на (-1) для корегування знаку .

Якщо цільова функція Z(f)  min ,то необхідно змінити коефіцієнти на протилежні , а Z(f)  max .

Для кожної нерівності типу “” додаємо базисну змінну .

Якщо обмеження типу “=” , додаємо одну М-змінну (велике вигадане число , напр.,10,20,...) .

Якщо обмеження типу “ ” ,додаємо різницю двох додатніх , одна з яких М-змінна.

Даний метод оснований на постійному поліпшенні неприпустимості рішень.

Мета : X_nmax.

ВІДЗНАКА ПОДВІЙНОГО симплекс методу (ПСМ) від ПРЯМОГО (ПРСМ)

Вибір направляючого елементу (спочатку визначається рядок :

min( X_i0  X_i0  0 ) , а потім стовпець : ;

Канонічна форма ПСМ повинна мати рівність та одиничний базис .

Для приведення до канонічного виду необхідно розрахувати псевдоплан . Псевдоплан – це нова модель , що містить в собі одиничний базис (сопряжённый базис) та неприпустиме опорне рішення .

Примітка : існують типові моделі , для яких псевдоплан можна записати відразу (наприклад, Задача змінно-добового планування ) .

Якщо в ПРСМ повинна бути хоча б одна Ітерація , то в ПСМ рішення може бути отримане відразу після перерахунку псевдоплану .

Всі останні Подвійні симплекс-перетворення аналогічні ПРСМ .

Задача про мін остов в білеті 9

Білет 11

Даний метод оснований на постійному поліпшенні неприпустимості рішень.

Мета : X_nmax.

ВІДЗНАКА ПОДВІЙНОГО симплекс методу (ПСМ) від ПРЯМОГО (ПРСМ)

Вибір направляючого елементу (спочатку визначається рядок :

min( X_i0  X_i0  0 ) , а потім стовпець : ;

Канонічна форма ПСМ повинна мати рівність та одиничний базис .

Для приведення до канонічного виду необхідно розрахувати псевдоплан . Псевдоплан – це нова модель , що містить в собі одиничний базис (сопряжённый базис) та неприпустиме опорне рішення .

Примітка : існують типові моделі , для яких псевдоплан можна записати відразу (наприклад, Задача змінно-добового планування ) .

Якщо в ПРСМ повинна бути хоча б одна Ітерація , то в ПСМ рішення може бути отримане відразу після перерахунку псевдоплану .Всі останні Подвійні симплекс-перетворення аналогічні ПР .

Вопрос 2. За існуючим алгоритмом Флойда, на вході моделі, одержуємо матрицю DD (матрицю відстаней) і R (матрицю маршрутів). Опис алгоритму.Математична модель аналогічна моделі в задачі Дейкстра. Ця модель розглядається для кожної пари полюсів. Задано граф =V,D, Cij - довжина або інший кількісний параметр.

Необхідно знайти найкоротшу відстань між усіма парами вузлів. В основі алгоритму лежить обчислення для кожної пари полюсів, де відбувається порівняння (для кожного ланцюжка).

А лгоритм побудований на такому принципі, що містить L кроків, де

dij>dik+dkj ijk

143 

341   l dij>dik+dkj

l=4 241  = 

142   інакше

543 

345

...... ...... .

l - кількість кроків.

Опорне рішення або вихідний стан матриці DD – це матриця суміжності опису мережі:

Вихідна матриця DD=D rij=j _ij

У початковий момент матриця R дорівнює № колонків

Алгоритм Флойда.

1. Вибираємо перший по порядку вузол L=1.

2. Визначаємо елементи цього стовпчика і цього рядка, що на даному кроку L будуть базовими.

3. Для кожного елемента матриці (jl), що не належить базовому стовпчику і базовому рядку виконується порівняння сум і . Якщо умова істинна (dij>), тоді виконується тіло циклу (dij=dik+dkj, dij=l).

4. Збільшуємо l і переходимо до пункту 2.

Пам'ять, що виділяється для програмування:

DD: array [1. .N, 1. .N] of word

R: array [1. .N, 1. .N] of byte

Рішення.

1. l=1 викреслюємо ті елементи, що не беруть участь в обчисленні, всі інші елементи ми будемо порівнювати.

2>+9 не істинно; >3+9 істинно - матрицю DD перемальовуємо

Білет 12

Даний метод оснований на постійному поліпшенні неприпустимості рішень.

Мета : X_nmax.

ВІДЗНАКА ПОДВІЙНОГО симплекс методу (ПСМ) від ПРЯМОГО (ПРСМ)

Вибір направляючого елементу (спочатку визначається рядок :

min( X_i0  X_i0  0 ) , а потім стовпець : ;

Канонічна форма ПСМ повинна мати рівність та одиничний базис .

Для приведення до канонічного виду необхідно розрахувати псевдоплан . Псевдоплан – це нова модель , що містить в собі одиничний базис (сопряжённый базис) та неприпустиме опорне рішення .

Примітка : існують типові моделі , для яких псевдоплан можна записати відразу (наприклад, Задача змінно-добового планування ) .

Якщо в ПРСМ повинна бути хоча б одна Ітерація , то в ПСМ рішення може бути отримане відразу після перерахунку псевдоплану .Всі останні Подвійні симплекс-перетворення аналогічні ПР .

Задача конденсування. Гоморі-Xу.

М ережу можна перетворити в остов:

Переписати у виді матриці.

1) За даною матрицею можна зробити такі висновки, з метою забезпечення максимуму потоку і надійності мережі:

стік у точці 4

насос у точці 6

2) Перебираючи S і T за допомогою алгоритму Дейкстра можна проаналізувати, де найбільше напружені вузли і дуги.

Ідея алгоритму: використовується поняття розріз.

Розріз - це мінімальна множина дуг, що дозволяє відключити вузол S або T і зробити мережу незв'язною.

Пропускна спроможність розрізу - це сума всіх пропускних спроможностей вхідних дуг.

Мінімальний розріз - це розріз, що має мінімальну суму. Дорівнює максимальному потокові або пропускній спроможності мережі.

Приклад: Задано мережу. Необхідно її розрахувати.

М атриця суміжності:

І =

134  = 3

І І = 124  = 4

І І І = 1234  = 2

І V =

Порівнюючи матрицю І та ІV визначаємо наступну матрицю f:

f = F=9

II^-й метод: використання теореми про мінімальний розріз.

III^-й метод: алгоритм конденсування:

Алгоритм складається з (N-1) ітерацій. Для кожної ітерації ми робимо стиск, розглядаючи при цьому довільну пару. i=1. .N-1 kl mk nm

12 F = 11 = 8+3

31 F = 9 = 3+2+4

Вузли по одну сторону  перехід до іншої мережі (стискуємо).

43 F = 11 = 7+4

Опис алгоритму.

1. Вихідне остовне дерево містить порожню множину дуг і вузлів.

2. Вибираємо пов'язану пару S і T, що випливає.

3. Визначаємо мінімальний розріз і максимальний потік із S у T за допомогою алгоритму Дейкстра або за теоремою про мінімальний розріз.

4. Розріз представлено гілкою остова між групами вузлів. Вага гілки дорівнює пропускній спроможності мінімального розрізу.

5. Якщо розглянутий (N-1) вузол, таким чином остов побудований. Якщо немає, то:

а) конденсуємо в один вузол кожну пов'язану пару, раніше обраних S і T (конденсування виконується в тому випадку, якщо вузли лежать по одну сторону розрізу);

б) вибираємо таку пару S і T, де Т - вузол, що входить у попередню пару;

в) перехід до пункту 3.

_______________________________________________

Білет 13

Задача призначення.

- задача про розподілення обладнання

Потрібно розподілити 5 екскаваторів між 4 кар’єрами з метою максимізації виробітки.

5 5

5 -100 7 -100 0

j = 1,M 7 8 8 -100 0

4 4 12 10 0

I = 1,N 8 7 10 11 0

10 -100 -100 14 0

X_ij  0 ;

Для приведення задачі до закритого вигляду , необхідно ввести (додати) фіктивне обладнання.

Задача про розклад.

Для кожної пари вирішується задача призначення потоку групи в аудиторії.

Критерієм є вмісткість аудиторії, розвантаження сходів(мінімізація хвилин переходу) .

C_ij-хвилини переходу; і - номер групи; j-аудиторія.

j=1,M ; і=1,N ;

3)Розподілення користувачем в класі ЕОМ.

Задана кількість користувачів та кількість комп’ютерів. Кожен користувач вирішує свою задачу за окремою ЕОМ. Необхідно розподілити користувачів

по критерію мінімума.

4)Транспортна задача.

Склад Споживач

A B

- вміщення матеріалів на складі;

- заявка.

С_ij - витрати

і=1,M ; j=1,N ;

5. Задача планування будівельного майданчика.

ДП – (оптимізація)- це метод,за допомогою якого можливо розв’язувати любі задачі, але насамперед це пошук змінних які залежать від змінних, тобто

Типові задачі.

1.Задача про розклад у ВНЗі.

2.Задача про розклад поїздів та інший транспорт.

3.Задача про розподіл ресурсів між підприємствами.

4.Задача про капіталовложення (інвестиції).

5.Задача про набір висоти самольотів.

6.Задача про завантаження торгового судна з майбутнім розвантаженням (по кретерію Диферента).

Особливості ДП.

1.Багатоповерховість t=1,2,...,T.

2.Рішення будуються ціленапрямленим перебором в прямому та зворотному порядку, при цьому першим етапом є останній.

3.На кожному етапі t дійсний оптимум цільової функції як відносно етапу t, так і відносно слідуючих етапів t+1, t+2,...,T.

В результаті ЦФ може розглядатися як вектор

Z=(z_1,z_{2, ...}z_n).

Головний принцип оптимальності (принцип Белмана).

В якому б стані не знаходилась керуюча система, необхідно на цьому кроці вибрати таке управління, щоб виграш був max, як на даному кроці, так і в слідуючому.

Метод Розгалужень та обмежень – частковий випадок ДП.

Стратегія "лавинообразная" методу розгалужень і обмежень відповідає стратегії ДП.

Опис загального алгоритму.

1. Підготовка

a)Необхідно вибрати змінні, які визначаються як управляємі

б) вибір етапів

t=1,2,3,……

в) формула розрахунку виграшу

f=(x_i,s_t)

г) виграш згідно принципу оптимальності

(*)w_t={maxf_t (S_t,X_t)+ w_t+1 (φ_t+1(S_t+1,X_t+1)))}

Виграш на поточному кроці + виграш на слідуючому кроці.

2.Опорне рішення

Виконати умовну оптимізацію останнього кроку (оптимізація завжди починається з кінця). Визначається множина кінцевих станів

w_t={f_t (S_t,X_t)}

3. Умовна оптимізація

Провести умовну оптимізацію кроків Т-1 по формулі (*), потім Т-2, Т-3 до 1. В результаті ми отримаємо дерево

4. Безумовна оптимізація

Провести безумовну оптимізацію, тобто починаючи з першого етапу, просуваючись в останній етап, зафіксовувати оптимальне рішення задач. Для цього зберігати в памяті розгалуження від гілки до гілки, використовуючи файл прямого запису для оргінізації етапів.

Примітка.

До визначеного часу ДП було як метод представлення рішення задач. ДП не реалізовувалось на комп’ютері з малою потужністю. ДП використовувалось тільки математиками (опис проблеми і методу вирішення проблеми за допомогою множин). В наш час ДП може бути використане для рішення любої практичної задачі.

______________________________________________

Білет 14

Даний термін здобуто із теоретичних основ електротехніки.

Нехай була задана слідуюча умова:

А(11,11,8);

В(5,9,9,7).

Побудова плану комунікацій та розрахунок потенціалів.

U

v

a₁

v₁=7

v₂=8

v₃=9

v₄=10

u₁=0

u₂=4

u₃=8

b₁

a₁

b₂

a₂

b₃

a₃

b₄

Будуємо оцінювальну матрицю С₀.

v

0

4

8

u

7 8 9 10

Циклічний процес:

1)Пошук направляючого елемента:

;

Якщо направляючий елемент не знайдено,то рішення отримано в матриці X.

2)Побудова в матриці X замкненого ланцюжка. (Направляючий елемент для даної задачі (-7)). Визначення -мінімальний елемент серед непарних.

=min(x₁,x₃,x₅,…);

=min(6,7,8)=6

3)Перерахунок матриці X: віднімаємо в ланцюжку  з непарних та додаємо  до парних.

Значення ЦФ корегується:

Z=Z-=150-7*6=108

ПРИМІТКА:

1)ЦФ повинна поліпшуватися(окрім випадку,коли направляючий елемент  дорівнює ).

2)Контроль вірності обчислювань повинен завжди дорівнювати поточній митриці X на вичаткову матр.С:

3)Перерахунок матр.С₀:

а

+7

)послідовно викреслюємо рядок, починаючи з напрямляючого елемента; потім викреслюємо стовпець по істотним нулям, і т.д. до тих пір,поки всі істотні нулі не будуть викреслені.

-7

Істотний нуль: коли , а якщо  , X_ij.

б)Додавання до рядків “”;

віднімання від стовпців “”.

І

Ланцюжок: (2-1)

(2-3)

(3-3) =min(2,1,5)=1

(3-4)

(1-4)

(1-1)

(2-1)

терація 2.

Z=108-8=100;

Ітер.3.

Ланцюжок: (1-3)

(1-1)

(2-1) =min(4,1)=1

(2-3)

(1-3)

Z=100-5*1=95

Ланцюжок : (3-2)

(3-3)

(1-3)

(1-1)) =min(8,3,9)=3

(2-1)

(2-2)

(3-2)

Ітер.4

Z=95-3*2=89

Z=4*5+7*3+5*2+6*4+3*3+5*1=89

Рішення знайдено.

Друге питання аналогічне як у 13

______________________________________________

Білет 15

Транспортну задачу можна вирішити угорським методом.

Етапи вирішення мають наступний вигляд:

1. Приведення до канонічного вигляду. Задача повинна бути закритою.

2.Перед визначенням істотних нулів ( єдиний нуль в рядках та стовпцях):

2.1. Перерахунок по стовпцям (віднімання від максимального елемента )

2.2. Та по рядкам (віднімання мінімального елемента).

3. Формування по стовпцям істотних нулів (позначення стовпців).

4.Рішення знайдено (кількість позначок ”+” повинна дорівнювати розмірності задачі ).Якщо рішення не знайдено, то перевірка на зацикленість (кількість ітерацій “” чи “”).

5. Формування ланцюжка 0`0<sup>*</sup>…0` , де

0^* - істотний нуль ;

0` - виділений нуль в рядку з 0^*.

Побудова ланцюжка здійснюється від 0` в невиділеному стовпчику до 0<sup>*</sup> в рядку , потім прямуємо до 0` в стовпці,...,закінчуючи 0`.

При побудові ланцюжка необхідно відмічати рядки “+” та знімати позначення стовпців.

6. Якщо ланцюжок побудовано, то замінюємо : 0`0^*.Переходимо до п.4.

7. Генерація нових нулів. Визначення h0 серед невиділених елементів.

Визначення мінімального з них.

8. Віднімання h від невиділених рядків та додавання h до виділених стовпців.

Перехід до п.3.

Значення Z повинне дорівнювати значенню . [1,33]

Приклад. Розв’язати методом VENGR_2 транспортну задачу.

А= (11,11,8)=30

В= (5,9,9,7) =30

7 8 5 3

С⁰ = 2 4 5 9

6 3 1 2

1. Приводимо задачу до закритого виду

a_i = b_j

x_ij=a_{i I}

x_ij=b_{j j}

2. Опорний план

Віднімаємо мінімальний елемент по стовпчикам

	5	5	4	1
С=	0	1	4	7
	4	0	0	0

Віднімаємо мінімальний елемент по строчкам

	4	4	3	0
С=	0	1	4	7
	4	0	0	0

				7		11 4
Х=	5					11 6
		8				8 0

5 9 9 7

0 1 9 0

Побудова ланцюга

+ +

	4	4	3	0
С=	0	1	4	7
	4	0	0	0

H=1

Генерація нових нулів

	4	3	2	0
С=	0	0	3	7
	5	0	0	1

				7		11 4
Х=	5	1				11 6 5
		8				8 0

0 0 9 0

	4	3	2	0
С=	0	0	3	7
	5	0	0	1

=min(9,8,5)=5

				7		11 4
Х=	5	6				11 6 5 –5 0
		3	5			8 0 –5 +5

0. 0 9 0

+5 4

-5

	4	3	2	0
С=	0	0	3	2
	5	0	0	1

H=2

	4	1	0	0
С=	0	0	1	2
	7	0	0	3

			4	7		0
Х=	5	6				0
		3	5			0

0 0 0 0

Рішення знайдено.

Z=5*2+3*3+6*4+4*5+5*1+7*3=10+9+24+20+5+21=89

Бідет 16

Приведення до канонічного вигляду. Задача повинна бути закритою.

Перед визначенням істотних нулів ( єдиний нуль в рядках та стовпцях),

1. Перерахунок по стовпцям (віднімання від максимального елемента )

2. Та по рядкам (віднімання мінімального елемента).

3. Формування по стовпцям істотних нулів (позначення стовпців).

4. Рішення знайдено (кількість позначок”+”повинна дорівнювати розмірності задачі (і)).Якщо рішення не знайдено :

Перевірка на зацикленість (кількість ітерацій “” чи “”).

5. Формування ланцюжка 0`0<sup>*</sup>…0` , де

0^* - істотний нуль ;

0` - виділений нуль в рядку з 0^*.

Побудова ланцюжка здійснюється від 0` в невиділеному стовпчику до 0<sup>*</sup> в рядку , потім прямуємо до 0` в стовпці,...,закінчуючи 0`.

При побудові ланцюжка необхідно відмічати рядки “+” та знімати позначення стовпців.

6. Якщо ланцюжок побудовано, то замінюємо : 0`0^*.Переходимо до п.4.

7. Генерація нових нулів. Визначення h0 серед невиділених елементів.

Визначення мінімального з них.

8. Віднімання h від невиділених рядків та додавання h до виділених стовпців.

Перехід до п.3.

Загальний вид задачі НП:

f(x1,x2, ... , xn) extr

g1(x1,x2, ... , xn) 0

gn(x1,x2, ... , xn) 0

f( ) і g( ) - нелінійні

Для випуклих областей НП можна провести пряму і точки , що належать області і належать прямій.

Теорема існування екстремуму.

Якщо F - безперервна на множині R, то вона досягає хоча б один раз мінімуму чи максимуму.

Теорема місця розташування екстремуму.

Якщо F - функція декількох змінних x1, ... ,xn то максимум досягається в одній або декількох таких точках:

а) множина стаціонарних точок: генерується система алгебраїчних рівнянь (шляхом диференціювання по x1, ... ,xn) і вирішується система. Одержали вектор X= x1, ... ,xn

X= (x1, ... ,xn)

б) множина точок границь в обмеженні. Для цього необхідно записати цільову функцію, обмеження, і вирішити це системою рівнянь.

в) з метою, щоб переконатися в існуванні максимуму або мінімуму, необхідно дослідити округу: взяти будь-яку точку і переконатися, чи більша вона від знайденої, якщо більше - рішення невірне, отже – це мінімум.

На цьому базується класичний метод визначення безумовного екстремуму:

1) Знаходиться множина стаціонарних точок , що визначається на основі приватного диференціювання по x1, ... ,xn, та вирішується система алгебраїчних рівнянь.

2) Підставляється кожна стаціонарна точка в обмеження, вона приймається як умовний екстремум або відсікається з таких причин:

а) не задовільняє обмеженням;

б) не задовольняє знаку екстремуму;

в) гірше чим інші екстремуми;

3) Досліджуються межі F з кожним обмеженням g і формується .

4) Досліджується кожна точка , і порівнюється з екстремумом, отриманим на етапі .

Результат: отримано абсолютний екстремум.

Приклад: Рішення безумовної оптимізації.

Безумовна оптимізація: коли оптимум знаходиться шляхом виявлення тільки стаціонарних точок.

f(x1,x2) = 10x1 + 20x2 + x1x2 - 2x1² - 2x2²  extr

= 10 + x2 - 4x1 = 0 Розмірність = 2

= 20 + x1 - 4x2 = 0 x = (4,6) x0 = (4. 001,6)

х² + у² + z² min

х + у + 3z = 2

5x +2y + z = 5

Білет 17

ЗАДАЧА ПРИЗНАЧЕННЯ .

ВЕНГЕРСЬКИЙ МЕТОД

і=1,I ; j=1,I ;

АЛГОРИТМ ВЕНГЕРСЬКОГО МЕТОДУ

Див в попер білеті.