(Принцип Белмана).

В якому б стані не знаходилась керуюча система, необхідно на цьому кроці вибрати таке управління, щоб виграш був max, як на даному кроці, так і в слідуючому.

Метод Розгалужень та обмежень – частковий випадок ДП.

Стратегія "лавинообразная" методу розгалужень і обмежень відповідає стратегії ДП.

Опис загального алгоритму.

1. Підготовка

a)Необхідно вибрати змінні, які визначаються як управляємі

б) вибір етапів

t=1,2,3,……

в) формула розрахунку виграшу

f=(x_i,s_t)

г) виграш згідно принципу оптимальності

(*)w_t={maxf_t (S_t,X_t)+ w_t+1 (φ_t+1(S_t+1,X_t+1)))}

Виграш на поточному кроці + виграш на слідуючому кроці.

2.Опорне рішення

Виконати умовну оптимізацію останнього кроку (оптимізація завжди починається з кінця). Визначається множина кінцевих станів

w_t={f_t (S_t,X_t)}

3. Умовна оптимізація

Провести умовну оптимізацію кроків Т-1 по формулі (*), потім Т-2, Т-3 до 1. В результаті ми отримаємо дерево

4. Безумовна оптимізація

Провести безумовну оптимізацію, тобто починаючи з першого етапу, просуваючись в останній етап, зафіксовувати оптимальне рішення задач. Для цього зберігати в памяті розгалуження від гілки до гілки, використовуючи файл прямого запису для оргінізації етапів.

//Вопрос 35

Нелінійне програмування.

Загальний вид задачі НП:

f(x1,x2, ... , xn) extr

g1(x1,x2, ... , xn) 0

gn(x1,x2, ... , xn) 0

f( ) і g( ) - нелінійні

Для випуклих областей НП можна провести пряму і точки , що належать області і належать прямій.

Теорема існування екстремуму.

Якщо F - безперервна на множині R, то вона досягає хоча б один раз мінімуму чи максимуму.

Теорема місця розташування екстремуму.

Якщо F - функція декількох змінних x1, ... ,xn то максимум досягається в одній або декількох таких точках:

а) множина стаціонарних точок: генерується система алгебраїчних рівнянь (шляхом диференціювання по x1, ... ,xn) і вирішується система. Одержали вектор X= x1, ... ,xn

X= (x1, ... ,xn)

б) множина точок границь в обмеженні. Для цього необхідно записати цільову функцію, обмеження, і вирішити це системою рівнянь.

в) з метою, щоб переконатися в існуванні максимуму або мінімуму, необхідно дослідити округу: взяти будь-яку точку і переконатися, чи більша вона від знайденої, якщо більше - рішення невірне, отже – це мінімум.

На цьому базується класичний метод визначення безумовного екстремуму:

1) Знаходиться множина стаціонарних точок , що визначається на основі приватного диференціювання по x1, ... ,xn, та вирішується система алгебраїчних рівнянь.

2) Підставляється кожна стаціонарна точка в обмеження, вона приймається як умовний екстремум або відсікається з таких причин:

а) не задовільняє обмеженням;

б) не задовольняє знаку екстремуму;

в) гірше чим інші екстремуми;

3) Досліджуються межі F з кожним обмеженням g і формується .

4) Досліджується кожна точка , і порівнюється з екстремумом, отриманим на етапі .

Результат: отримано абсолютний екстремум.

Білет4.

1. Задача про сортамент

V1 , . . . , Vn – вироби ;

C1 , . . . ,Cm – коефіцієнт прибутку , собівартості , реалізації тощо .

2. Задача про рекламу .

3. Задача змінно-добового планування .

4. Задача про ремонт та заміну обладнання .

5. ^{Задача про теорію розкладу. Проблема розкладу в ВНЗ. Одна з них : для кожної пари є аудиторії та потоки. Потрібно розвантажити сходи.}

і=1,M j=1,N

Xij0

6. Задача про вибір маршруту. Визначити найкоротшу відстань (шлях) від п. А до п. В маючи на увазі наявність пального.

Задачі сітьового планування та управління (СПУ) . Дана сіть , що описує деякий технологічний процес.

2. Булеве програмування необхідне для розв’язку задач бінарної оптимізаціїї, де змінні мають значення (0,1)

Сума cjxj->min? сума ajxj<= b , xє(0.1)

Х-брати чи не брати річ

С – цінність речі

А – маса речі

В – об’єм рюкзака

Білет 5

Лінійне програмування використовується лише тоді , коли Цільва фукція та ОДР – лінійні.

Варіанти використання графічного методу :

В ідповідь: 1 рішення

Відповідь : множина рішень на прямій ( z  цій прямій )

Відповідь: 1 рішення

Відповідь: немає рішень

Відповідь: немає рішень

Примітка: ОДР для ЛП завжди випукла; вогнутостей не може бути.

2. Булеве програмування необхідне для розв’язку задач бінарної оптимізаціїї, де змінні мають значення (0,1)

Сума cjxj->min? сума ajxj<= b , xє(0.1)

Х-брати чи не брати річ

С – цінність речі

А – маса речі

В – об’єм рюкзака

_____________________________________________

Білет 6

Аналіз умови невід’ємності . Якщо не для всіх змінних задана умова невід’ємності, то кожну таку змінну (невід’ємну) замінюють різницею двох додатніх .

Права частина повинна бути додатньою . Якщо в будь яких обмеженнях права частина від’ємна, необхідно помножити її на (-1) для корегування знаку .

Якщо цільова функція Z(f)  min ,то необхідно змінити коефіцієнти на протилежні , а Z(f)  max .

Для кожної нерівності типу “” додаємо базисну змінну .

Якщо обмеження типу “=” , додаємо одну М-змінну (велике вигадане число , напр.,10,20,...) .

Якщо обмеження типу “ ” ,додаємо різницю двох додатніх , одна з яких М-змінна.

В опрос 25

Мережею або графом називається множина вершин і дуг, взаємозалежних між собою. G=(V, D).

Дуга:

1. Неорієнтована дуга - дуга, що має потік i, j, як у прямому, так і в оберненому напрямку.

0  fij  cij - обмеження.

cij - пропускна спроможність дуги або мережі.

cij  {0,1} - для задач найкоротшого шляху. Кожна дуга може характеризуватися cij, tij, dij - довжина або час переміщення по дузі.