28.Основные теоремы о пределах

Т еорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

 ,  .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).  ,  .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

,   .

29,30 . Замечательные пределы

 Теорема 1. Предел отношения синуса малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, при стремлении величины дуги к нулю равен единице. .

Т еорема 2. Предел последовательности  при   равен . ,      .

31. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀.

Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого   найдется  такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству  , будет выполняться неравенство Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной на множестве АR, если она непрерывна в каждой точке множества А.

функцияy=f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда ее предел при  x  х₀  равен значению функции в этой точке:

Таким образом, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

32. Точки разрыва функции

Функция является непрерывной в точке, если   = .

Определение. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называют точками разрыва функции.

Определение. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы в этой точке.

Определение. Точка х₀  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен +(-)).

33.Производная и её геометрический смысл.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на (a,b), пусть  . Дадим в точке х₀приращение аргументу х так, что точка х₀+х . Тогда функция получит соответствующее приращениеу=f(x₀+x)-f(x₀).

Определение . Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х₀. .

Г еометрический смысл производнойПусть функция у=f(x) определена и непрерывна на (a,b),  . Дадим приращение аргументу х так, что точка х₀+х . Функция получит приращение у=f(x₀+x)-f(x₀). Переходя к пределупри    в равенстве   получим

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке.