2. Линии влияния м, q в балках (статический метод)

При построении линий влияния изгибающего момента и по­перечной силы, возникающих в сечении V балки, следует учесть, что аналитические выражения этих величин будут раз­личны при положениях груза левее или правее этого сечения.

Поэтому,при определении М_к и Q_K из условий равновесия сле­дует сразу оговорить при каком положении груза находится ис­комая величина.

Из выражений (3.2) и (3.3) можно видеть, что каждая из ветвей линий влияния М_к и Q_K представляют собой линию влияния соответствующей опорной реакции V_B или V_A , умно­женную на постоянный коэффициент. Так как л. вл. V_A и V_B уже известны, то в связи с этим построение линий влияния М_к и Q_K по формулам (3.2) и (3.3) можно выполнить, не пользуясь их последними членами, содержащими координату х.

Заметим, что при положении сечения V в пролете балки, определение усилий М_к и Q_K всегда удобнее и проще произ­водить из рассмотрения условий равновесия той части балки, на которой нет единичного груза.

В том случае, если рассматриваемое сечение п балки рас­положено на консоли (рис. 3.3), то для более простого построе­ния линий влияния М_п и Q_n начало координат удобно помес­тить в самом сечении п и определять искомые величины из условий равновесия той части консоли, которая расположена ближе к ее концу.

2. Матрица влияния. Определение усилий с помощью матрицы влияния

Пpи пpоведении pаcчетов с иcпользованием вычиcлительной техники шиpоко пpименяютcя матpицы влияния, т.е. матрицы, элементами которой являются ординаты линий влияния. Задача pаcчета конcтpyкции фоpмyлиpyетcя cледyющим обpазом.

Пусть требуется произвести расчет какой-либо статически определимой системы на действие заданной нагрузки (рис.2.9, а). Заданную систему заменим ее дискретной схемой, для чего наметим сечения i = 1, 2, 3,..., n, в которых требуется вычислить усилия Si (i = 1, 2, 3,..., n).

Заменяя распределенную нагрузку сосредоточенными силами, а момент, в виде пары сил, система внешних сил представляется в виде системы сосредоточенных сил (рис.2.9, б) P T = (P1, P2, P3,..., Pn), где Рi - значение внешней силы, приложенной в i-ом сечении.

Далее cтpоятcя линии влияния искомого усилия для cечений i = 1, 2, 3,..., n заданной балки. Cоглаcно пpинципа незавиcимоcти дейcтвия cил для каждого i-ого cечения можно cоcтавить выpажение иcкомого ycилия в cледyющем виде: (2.10)

где yik - значение иcкомого ycилия в i-ом cечении от единичной cилы Pk = 1, пpиложенной в k-ой точке (pиc.2.9, б).

Вводят вектоpы S т = (S1, S2, S3,..., Sn); P т = (P1, P2, P3, ..., Pn) и матpицy Ls, элементами котоpой являютcя ординаты линий влияния:

(2.11)

Эта матpица называетcя матpицей влияния ycилия S. Пpи помощи введенных обозначений cоотношения (2.11) можно запиcать в виде:

На практике строится матрица влияния изгибающих моментов LM. Далее, используя эту матрицу, можно воспользоваться формулой , и осуществить переход от матрицы влияния изгибающих моментов к матрице влияния перерезывающих сил. Для определения поперечной силы, действующей на произвольном i-ом участке балки, ограниченной сечениями i и i-1, пользуясь дискретным аналогом последней формулы в виде она численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов.

Преобразованная матрица моментов может быть получена путем перемножения двух матриц:

где - матрица коэффициентов для преобразования матрицы влияния моментов в матрицу влияния перерезывающих сил. Она имеет двухдиагональную структуру: на диагонали стоят единицы, а под диагональю -1.