2. Математична модель конвективного теплообміну

Вивчення будь-якого фізичного явища зводиться до встановлення залежності між величинами, які характеризують це явище. Для складних фізичних процесів в яких визначаємі величини можуть суттєво змінюватись у просторі і часі встановити залежність між ними дуже складно. У цих випадках на допомогу приходить метод математичної фізики, який виходить з того, що обмежується проміжок часу і з усього простору розглядаємо лише елементарний об’єм, це дозволяє в межах елементарного об’єму і вибраного малого проміжку часу знехтувати зміною деяких величин, характеризуючих процес і суттєво спростити залежність. Вибраний таким чином елементарний об’єм dV і елементарний проміжок часу d в межах якого розглядаємо вивчаємий процес, з математичної точки зору є величини нескінченно малі, а з фізичної точки зору – достатньо великими, щоб в їх межах можна було ігнорувати дискретну будову середовища, отже, розглядаємо його, як суцільне середовище. Отримана таким чином залежність є загальним диференційним рівнянням процесу.

Інтегруючи диференційне рівняння можна отримати аналітичну залежність для всієї області інтегрування і всього розглядаємого проміжку часу. Для полегшення виведення диференційного рівняння зробимо наступні припущення:

• тіло однорідне і ізотропне;

• фізичні параметри постійні;

• деформація розглядаємого об’єму, яка пов’язана зі зміною температури дуже мала у порівнянні з самим об’ємом C_v=C_p;

• внутрішні джерела теплоти у тілі, які в загальному випадку можуть бути задані у такому вигляді q_v=f (x,y,z,), розподіляються рівномірно.

Поняття конвективного теплообміну охоплює процес теплообміну при русі рідини або газу. При цьому перенос тепла здійснюється одночасно конвекцією і теплопровідністю.

Під конвекцією теплоти розуміють перенос теплоти при переміщенні макрочастинок рідини або газу у просторі із області з однією температурою в область з іншою температурою. Конвекція можлива тільки в текучому середовищі, в якому перенос теплоти нерозривно пов’язаний з переносом самого середовища.

2.4. Математична модель конвективного теплообміну. Умови однозначності

Система рівнянь енергії, руху і нерозривності описує процес конвективного теплообміну і в скороченому записі має вигляд:

; (38)

; (39)

; (40)

; (41)

. (42)

Ця система рівнянь справедлива тільки для ламінарної течії рідини. Турбулентна течія суттєво відрізняється від ламінарної, наявністю пульсацій рідини у поперечному напрямку. Характерна картина пульсації швидкості і температури у розглянутій точці потоку при зміні часу приведена на рисунку 9.

Рисунок 9. До розгляду турбулентної течії

Таким чином, конвективне перенесення механічної і теплової енергії при турбулентному русі рідини, складається з осередненого і пульсаційного переносу, причому, пульсаційні складові залежать від тих же факторів, що й поле осереднених швидкостей і температур. Тому для аналізу також використовують систему рівнянь (38)…(42), в які підставляються осереднені у часі швидкості і температури, а пульсаційні складові враховуються введенням коефіцієнтів турбулентного переносу, які визначаються експериментально.

Приведена система рівнянь описує нескінченну множину процесів. Для її розв’язання у кожному конкретному випадку потрібно додати умови однозначності. Умови однозначності дають математичний опис усіх особливостей явища. Ці умови складаються з:

а) геометричних умов, характеризуючих форму і розміри об’єму, який розглядаємо;

б) фізичних умов, характеризуючих фізичні властивості середовища (в’язкість , теплопровідність , густина  і т. д.);

в) початкових умов, характеризуючих поля швидкостей і температур у початковий момент часу;

г) граничних умов, характеризуючих особливості протікання процесу на границі середовища.

При розв’язанні рівнянь гідродинаміки дуже часто використовують умову прилипання, тобто рівність нулю швидкості рідини біля твердої поверхні. При розв’язанні рівняння енергії можуть бути задані наступні граничні умови:

1. Граничні умови першого роду, коли задається значення температури на поверхнях, обмежуючих середовище. Задається розподілення температури на поверхні тіла для кожного моменту часу:

, (43)

де t_п - температура на поверхні тіла;

x,y,z - координати поверхні тіла.

У окремому випадку, коли температура на поверхні є величиною постійною протягом усього часу протікання процесів, то рівняння (43) спрощується і набуває вигляд .

2. Граничні умови другого роду, коли на поверхнях заданий тепловий потік, . У найпростішому випадку .

3. Граничні умови третього роду, у яких припускається, що тепловий потік на поверхнях пропорційний різниці температур поверхні і рідини, тобто характеризує закон теплообміну між поверхнею і навколишнім середовищем у процесі охолодження або нагрівання тіла.

, (44)

де n- нормаль до поверхні тіла;

(гран) - вказує на те, що градієнт відноситься до поверхні тіла (при n=0).

. (45)

4. Граничні умови четвертого роду застосовуються, коли на межі двох середовищ тепло передається теплопровідністю.

. (46)

Таким чином, система рівнянь (38)…(42) разом з умовами однозначності описує конкретні задачі конвективного теплообміну, які можуть вирішуватись аналітично, лічильними методами або методами теорії подібності.

2. Теореми подібності. Інженерне застосування.

Теорія подібності – це теорія експерименту. Основна особливість якого полягає у вивченні явища з точним фіксуванням умов його здійснення та відтворення цього явища з повторенням цих умов. При цьому процеси, які протікають в установці, що проектується, на початку вивчаються на моделі, а потім результати досліджень на основі цієї теорії переносяться на реальну установку. Теорія подібності відповідає на наступні запитання: які величини вимірювати у дослідженнях, як обробляти результати досліджень і на які явища можна розповсюдити ці результати.

Подібність фізичних явищ означає подібність усіх величин, характеризуючих явище (геометрична подібність, подібність фізичних параметрів, подібність поля швидкостей і т.д.). Простішою величиною, характеризуючою подібність, є константа подібності - відношення однорідних величин у схожих точках простору в межах двох однорідних систем.

Інваріант подібності

Розглянемо геометрично подібні трикутники:

а) б) в)

Рисунок 17. До розгляду теорії подібності

Ця рівність справедлива для будь якої кількості подібних трикутників і називається інваріантом подібності.

Таким чином, інваріант подібності зберігає своє значення для нескінченної кількості подібних систем, у той час, як константа подібності втрачає своє значення при переході до нової подібної системи і справедлива тільки в межах двох подібних систем.

Найпростіший інваріантом подібності – співвідношення двох величин називається симплексом подібності.

У подібних системах кожна величина має відмінну від інших константу подібності, тому подібність фізичних явищ характеризується комплексом величин, які називаються критеріями подібності (наприклад, критерій Рейнольдса). Критерії подібності завжди безрозмірні, отримуються з диференціальних рівнянь, описуючих явище, і мають певний фізичний зміст.

Подібні явища мають однакові і рівні критерії подібності – це перша теорема подібності, яка відповідає на перше поставлене вище запитання: у дослідах потрібно вимірювати величини, які входять у критерій подібності. Друга теорема подібності формулюється так: залежність між змінними величинами у вигляді диференційних рівнянь може бути представлена у вигляді залежності між критеріями подібності, складеними з тих самих змінних. Ця теорема відповідає на запитання, як обробляти результати досліду: результати досліду потрібно обробляти у вигляді критеріїв подібності і представляти залежностями між цими критеріями з визначеними експериментально чисельними коефіцієнтами. Згідно третьої теореми подібними називаються явища, протікаючи у геометрично подібних системах, які підпорядковані одним і тим же рівнянням, які мають однакові умови однозначності і рівні критерії подібності. Ця теорема відповідає на запитання, на які явища дозволено переносити результати дослідів.

Перша теорема подібності була сформульована Ньютоном.

Друга теорема подібності була доведена Бекінгемом, Федерманом і Афанасьєвою-Еренфест.

Третя теорема подібності була сформульована М.В. Кирпичовим і

А.А. Гухманом.

Отже критерії подібності, які складаються тільки з величин, які входять в умови однозначності, називаються визначальними. Критерії, які включають також величини, які не є необхідними для однозначної характеристики даного процесу, а самі залежать від цих умов, називаються визначуваними.

Таким чином, дослідження процесів методом теорії подібності повинно складатись з наступних етапів:

1) Отримавши повний математичний опис процесу, тобто склавши диференційне рівняння і встановивши умови однозначності, проводять подібні перетворення цього рівняння і знаходять критерії подібності.

2) Дослідним шляхом на моделях встановлюють конкретний вигляд залежності між критеріями подібності, причому отримане загальне розрахункове рівняння справедливе для всіх подібних явищ в досліджуваних межах зміни визначальних критеріїв подібності.

3. Сушіння. Фізичні основи процесу.

Сушіння