54.Изучение формы распределения

Центральные моменты распределения

Для дальнейшего изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения порядка, соответствующего степени, в которую возводятся отклонения, или просто моментов.

Показатели формы распределения

• Асимметрия – Коэффициент асимметрии характеризует асимметричность («скошенность») распределения признака в совокупности

• Эксцесс – Показатель эксцесса представляет собой отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз («крутость») от вершины кривой нормального распределения

Асимметрия распределения

• При =0 распределение считается нормальным.

• При > 0 правосторонняя асимметрия.

• При <0 левосторонняя асимметрия.

• Если асимметрия более 0,5, то независимо от знака она считается значительной

• Если асимметрия меньше 0,25, то она считается незначительной

Показатель Пирсона зависит от степени асимметричности в средней части ряда распределения, а показатель асимметрии, основанный на моменте третьего порядка, - от крайних значений признака.

Оценка существенности асимметрии

Для оценки существенности асимметрии вычисляют показатель средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии

Если отношение имеет значение больше 2, то это свидетельствует о существенном характере асимметрии

Эксцесс распределения

Поскольку эксцесс нормального распределения равен 3, показатель эксцесса вычисляется по формуле

или

где - нормированный момент четвертого порядка

• При >0 – высоковершинный эксцесс распределения

• При <0 – низковершинный эксцесс распределение

• При =0 – нормальное распределение

Оценка существенности эксцесса

Для оценки существенности эксцесса вычисляют показатель его средней квадратической ошибки

Если отношение имеет значение больше 3, то это свидетельствует о существенном характере эксцесса

55.Норм распред и его хар-ки В 1727 Абрахам де Муавр открыл закон распределения вероятностей, названный законом норм распределения. Разработкой вопросов, относящихся к данному закону, занимались Пьер Лаплас и Карл Гаусс. Общие условия возникновения закона норм распред установил Ляпунов. Норм распред образ-ся, если на варьирующую переменную влияет большое число факторов, ни один из которых не имеет преобладающего влияния. Закон норм распред лежит в основе многих теорем и методов статистики при оценке репрез-ти выборки (расчете ошибки выборки и распространении хар-тик выборки на ген сов-ть); измерении степени тесноты связи и составлении модели регрессии; построении и использовании стат критериев.. Распределение непрерывной случайной величины х называют норм N (х, ), если соответствующая ей плотность распределения выражается ф-лой:

Свойства норм распред:

• Значения признака имеют тенденцию концентрироваться около точки t = 0, где яв-ся нормиров откл-ем.

• Норм кривая симметрична относительно вертик оси.

• Значения наблюдений не ограничены по своей величине.

• , и имеют одно и то же значение при t = 0.

• Изменения величины t характеризует разл типы распред.

С колебаниями ср величины, кривая норм распределения будет смещаться по оси абсцисс влево или вправо, тогда как форма кривой останется неизменной.

56.Критерии согласия: Пирсона, Романовского, Ястремского. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирич распределения теоретич закону норм распределения исп-ся особые стат показатели - критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястремского. Критерий согласия Пирсона где m – частота эмп распределения, m' - частота теорет распред. Табличное значение хи-квадрат опр-ся при пом числа k - числа степеней свободы, равного разности между числом групп (r) и величиной 3 для выравнивания по закону норм распр-я, т.е. k = r-3. Если , то расхождения между теорет и факт распр-ем считается неслучайным. Если , то расхождения между теорет и факт распределением считается случайным, а распределение хорошо согласуется с з-м норм распр-ия. Критерий согласия Романовского где k - число степеней свободы. Если R<3, расхождения между теорет и эмп частотами считаются случайными. Если R>3, то неслучайными, существенными. Критерии согласия Пирсона и романовского не показывают, чем конкретно отл-ся рассматриваемые распределения. С этой целью применяются спец пок-ли асимметрии и эксцесса. Критерий согласия Ястремского где r - число групп. Величина имеет табличное значение, равное 0,6 для распределений, где число групп представлено до 20. Если , расхождение между теорет и эмп распределениями считаются случайными. Если , расхождение между теорет и эмп распределениями неслучайны, т.е. эмп распределение не отвечает требованиям норм распределения. Критерий согласия Колмогорова Вероятность Р( ) может изменяться от 0 до 1. Если принимает значения до 0,3, то Р( )=1, след-но отклонений между эмп и теорет частотами нет.

57.Критерий согласия Пирсона где m – частота эмп распределения, m' - частота теорет распред. Табличное значение хи-квадрат опр-ся при пом числа k - числа степеней свободы, равного разности между числом групп (r) и величиной 3 для выравнивания по закону норм распр-я, т.е. k = r - 3. Если , то расхождения между теорет и факт распр-ем считается неслучайным. Если , то расхождения между теорет и факт распределением считается случайным, а распределение хорошо согласуется с законом норм распр-ия.

58.Коэф-ты ассиметрии и эксцесса. Коэф асимм К_А хар-ет асимметричность распределения признака в сов-ти. Пок-ль эксцесса E_X представляет собой отклонение вершины эмп распред вверх или вниз («крутость») от вершины кривой норм распред. Асимм распределения: при K_A=0 распред считается норм; при К_А>0 правосторонняя асимм; при К_А<0 левосторонняя асимм; если асимм более 0,5, то независимо от знака она считается значительной; если асимм меньше 0,25, то она считается незначительной.

Расчет асимметрии распределения при помощи нормированного момента 3 порядка дает наиболее точный результат , т.е. нормированный момент третьего порядка. Для оценки существенности асимметрии вычисляют пок-ль ср квадратич ошибки коэф асимметрии. Если отношение имеет значение больше 2, то это свидетельствует о существенном хар-ре асимм. Эксцесс распределения. Пок-ль эксцесса Е_Х представляет собой отклонение вершины эмп распред вверх или вниз («крутость») от вершины кривой норм распред, НО! график распределения может выглядеть сколь угодно крутым в зав-ти от силы вариации признака: чем слабее вариация, тем круче кривая распределения при данном масштабе. Чтобы показать, в чем состоит эксцесс распределения, и правильно его интерпретировать, нужно сравнить ряды с одинаковой силой вариации (одной и той же величиной σ) и разными показателями эксцесса. Чтобы не смешать эксцесс с асимметрией, все сравниваемые ряды должны быть симметричными. Поскольку эксцесс норм распред равен 3, пок-ль эксцесса вычисляется по ф-ле или где нормированный момент 4 порядка. При Е_Х>0 высоковершинный эксцесс распред. При Е_Х<0 низковершинный. При Е_Х=0 норм распред. Для оценки существенности эксцесса вычисляют пок-ль его ср квадратич ошибки Если отношение имеет значение больше 3, то это свидетельствует о существенном характере эксцесса.