Содержание

№ п/п

Наименование раздела дисциплины

Типовые задачи

1

Аксиоматическая теория натуральных чисел

1. Задана алгебра с одной унарной операцией. Выяснить, какие из аксиом Пеано истинны на алгебре.

2. Доказать методом математической индукции утверждение о натуральных числах (равенство, неравенство и др.).

3. Выяснить, какими свойствами обладает бинарное отношение , заданное на множестве . Если является отношением эквивалентности, постройте классы эквивалентности.

4. Выяснить, будет ли следующее соответствие гомоморфизмом данных колец.

2

Кольцо целых чисел

1. Доказать (проверить) равенство следующих целых чисел.

2. Доказать (проверить) неравенство следующих целых чисел.

3. Выполнить указанные действия над целыми числами.

4. Доказать методом математической индукции утверждение о целых числах (равенство, неравенство и др. ).

5. По делимому а и остатку r найти делители b и соответствующие частные q.

6. Найти наибольшее целое число, дающее при делении на b частное q.

7. Найти НОД (НОК) каждой из следующих систем чисел двумя способами: с помощью алгоритма Евклида, разложения на простые множители.

а) {120; 144}; б) {424; 477}; в) {299; 391; 667}.

3

Поле рациональных чисел

1. Доказать (проверить) равенство следующих рациональных чисел.

2. Доказать (проверить) неравенство следующих рациональных чисел.

3. Выполнить указанные действия над рациональными числами.

4

Поле действительных чисел

1. Доказать (проверить) фундаментальность последовательностей рациональных чисел.

2. Доказать (проверить) эквивалентность последовательностей рациональных чисел.

3. Доказать (проверить) равенство следующих действительных чисел.

4. Доказать (проверить) неравенство следующих действительных чисел.

5. Выполнить указанные действия над действительными числами.

6. Среди чисел ; 0; 0,(25); ; 3,14; ; 0,818118111811118... укажите рациональные и иррациональные.

7. Доказать, что кольцо матриц второго порядка над полем действительных чисел содержит бесконечно много подколец, изоморфных кольцу целых чисел.

8. Решить в поле уравнение .

5

Поле комплексных чисел

1. Найти норму и модуль комплексного числа.

2.Найдите для следующего комплексного числа его тригонометрическую форму.

3. Выполнить указанные действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической (алгебраической) форме.

4. Найти тригонометрическую форму комплексного числа z и вычислить и .

5. Решить уравнение.

6. Найти геометрическое место точек z, удовлетворяющих данным условиям.

7. Изобразить комплексные числа и корни n-й степени из комплексного числа, корни n-й степени из 1.

8. Найти минимальные многочлены над Q для следующих чисел: а) ; б) ; в) .

9. Доказать, что всякое тело характеристики нуль, т.е. тело, в котором все кратные единицы различны, содержит и только одно подполе, изоморфное полю рациональных чисел.

6

Линейные алгебры над полями

1.Переход от одной формы записи кватерниона к другой.

2. Выполнить указанные действия над кватернионами.

3. Решить уравнение.