Архимедовская расположенность кольца целых чисел.

Теорема 16. Кольцо целых чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): , где , такое, что a<nb.

Доказательство.

Пусть a и b- натуральные числа. Докажем справедливость утверждения методом математической индукции по .

1. База индукции b=1.

.

2. Индуктивное предположение.

Пусть верно для , т.е. .

3. Проверим для , т.е. (?)

Тогда .

Пусть теперь . Возможны случаи:

,

(доказано выше).

что и требовалось доказать.

Теорема 17. Кольцо целых чисел не является всюду плотным.

Доказательство.

Поскольку , а не является всюду плотным, то и также всюду плотным не будет.

что и требовалось доказать.

Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.

Рассмотрим множество , на котором введем отношение по следующему правилу:

Теорема 1. Отношение ≈ на множестве есть отношение эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).

Доказательство.

Отношение  рефлексивно (?)

.

Отношение  симметрично (?)

.

Отношение  транзитивно (?)

.

что и требовалось доказать.

Поскольку ≈ - есть отношение эквивалентности на множестве , имеют место классы эквивалентности:

.

Определение. Рациональными числами назовем элементы фактормножества .

Сложение и умножение рациональных чисел.

Определим на множестве рациональных чисел действия сложения и умножения по следующим правилам:

.

Теорема 2. Действия + и являются бинарными операциями на множестве .

Доказательство.

- бинарная операция (?)

Умножение определено , т.к. определено умножение любых целых чисел. Покажем однозначность.

- бинарная операция (?)

Сложение определено , т.к. определено сложение и умножение любых целых чисел. Покажем однозначность.

Таким образом, для того, чтобы доказать однозначность достаточно проверить равенство:

.

Поскольку в силу того, что сумма и произведение целых чисел также являются целыми числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.

что и требовалось доказать.

Поле рациональных чисел.

Лемма 1. .

Теорема 3. - поле.

Доказательство.

Непосредственной проверкой легко устанавливается, что сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными операциями, а также дистрибутивность сложения относительно умножения.

(существование 0) (?)

Покажем, что класс , :

.

(существование 1) (?)

Покажем, что класс , :

.

(существование противоположного) (?)

Проверим, что :

.

(существование обратного для каждого ненулевого) (?)

Проверим, что :

- обратный к .

.

что и требовалось доказать.

Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.

Договоримся обозначать поле рациональных чисел через .

Теорема 4. Кольцо изоморфно вкладывается в поле рациональных чисел .

Доказательство.

Рассмотрим множество . Нетрудно устанавливается, что подполе поля , проверим только замкнутость.

замкнуто относительно сложения и умножения (?)

;

.

Рассмотрим соответствие заданное по правилу .

Докажем, что - кольцевой изоморфизм.

- отображение (?)

Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого целого числа можно построить класс .

Однозначность: (?)

- биекция (?)

Инъективность: (?)

.

Сюръективность: (?)

Возьмем , поскольку . В силу произвольности сюръективность доказана.

- гомоморфизм (?)

Сохранение операции сложения: (?)

.

Сохранение операции умножения: (?)

Таким образом доказано, что алгебра изоморфна подалгебре алгебры , следовательно, изоморфно вкладывается в .

что и требовалось доказать.

Замечание. Ввиду изоморфизма, который отмечен в конце доказательства, мы проведем отождествление для каждого целого числа. Ввиду этого отождествления получим (подмножество, более того, подкольцо).