Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
Теорема 13. Любое непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел имеет наименьший элемент.
Доказательство.
Пусть В
ограничено снизу элементом
т.е.
..
Рассмотрим множество
.
,
т.к.
.
.
Такой элемент
обязательно найдется, т.к. в противном
случае
.
Покажем, что
наименьший в
.
.
Предположим, что
.
Тогда
.
Последнее противоречит условию
,
следовательно, предположение неверно.
Тогда
такой, что
.
Таким образом,
- наименьший в
.
что и требовалось доказать.
Теорема 14. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества целых чисел имеет наибольший элемент.
Доказательство.
Пусть
ограничено сверху элементом
,
т.е.
.
Рассмотрим множество
.
,
т.к.
.
Тогда
ограничено снизу любым элементом из
,
следовательно, по
теореме 13,
имеет наименьший элемент
.
Покажем, что элемент
такой, что
,
является наибольшим в
.
Предположим, что
,
следовательно,
.
Последнее противоречит тому, что
- наименьший в
,
а, значит, предположение неверно. Тогда
такой, что
.
Таким образом,
- наибольший в
.
что и требовалось доказать.
Абсолютная величина целого числа и его свойства.
Определение.
Абсолютной
величиной (или модулем) целого числа a
называется число
.
Замечание. Данное определение корректно, поскольку множество {a,-a} – ограничено, следовательно, есть наибольшее.
Свойства модуля:
(доказательство самостоятельно)
Доказательство.
Свойства 1 и 2 следуют из определения.
Свойство 3.
Для доказательства равенства
рассмотрим все возможные случаи:
1)
.
Из этих соотношений получаем:
.
2)
.
Отсюда имеем:
.
3)
.
Отсюда получаем:
.
4)
.
Отсюда следует:
.
Таким образом, во
всех возможных случаях выполняется
равенство
.
Свойство 4.
Из
и
получаем:
.
Из
и
получаем:
.
.
В обоих возможных
случаях имеем:
.
Свойство 5.
Из
следует соотношение
.
что и требовалось доказать.
Теорема о делении с остатком.
Теорема 15.
,
где b≠0,
существует
и при том единственная пара целых чисел
такая, что
.
назовем остатком при делении a
на b,
q
– неполным
частным.
Доказательство.
Существование (?)
Проведем методом математической индукции в 3-ей форме.
База индукции.
Рассмотрим множество
.
Очевидно, это множество непустое и не
ограничено сверху. Для любого элемента
В
верна теорема о делении с остатком в
разделе существования, поскольку b≠0,
bn=bn+0,
где
,
0≤
<
.
Индуктивное предположение.
Предположим, что для произвольного целого числа z данная теорема справедлива, т.е.z = bq+r, где 0≤r< .
Проверим справедливость данного утверждения для числа z – 1.
z
= bq+r
bq+(r–1),
где 0≤r<
.
Рассмотрим возможные случаи:
,
где
- неполное частное,
- остаток, причем 0≤
<
.
.
Тогда q,
r–1
– искомая пара чисел для
и
.
Существование доказано.
Единственность (?)
Методом от
противного. Пусть
.
Тогда
.
Учитывая, что
,
рассмотрим следующие случаи:
1.
.
2.
.
Тогда
- противоречие. Следовательно, такой
случай невозможен.
3.
.
Невозможен, доказательство аналогично
2.
Таким образом, из
трех случаев возможен только один
.
Единственность доказана.
что и требовалось доказать.