Кольцо целых чисел.
Теорема 3.
- целостное кольцо, т.е. коммутативное
кольцо с единицей, не содержащее делителей
нуля.
Доказательство.
Проверим аксиомы кольца.
1)
(ассоциативность
+) (?)
.
2)
(коммутативность
+) (?)
.
3)
(существование
0) (?)
,
где
- произвольное натуральное число.
4)
(существование
противоположного)
(?)
.
5)
(ассоциативность
)
(?)
6)
(коммутативность
)
(?)
.
7)
(существование
1) (?)
,
где
- произвольное натуральное число.
8)
(дистрибутивность)
(?)
9)
(отсутствие
делителей 0)
(?)
,
где
- произвольное натуральное число, в силу
произвольности
.
Таким образом,
.
что и требовалось доказать.
Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
Договоримся
обозначать множество целых чисел через
.
Теорема 4. Полукольцо натуральных чисел изоморфно вкладывается в кольцо целых чисел.
Доказательство.
Рассмотрим множество
.
Покажем, что
подалгебра алгебры
.
замкнуто
относительно сложения и умножения (?)
Рассмотрим
соответствие
заданное по правилу
.
- отображение
(?)
Всюду определенность
очевидна, поскольку для каждого
натурального числа
можно построить класс
.
Однозначность:
(?)
ъ
- биекция (?)
Инъективность:
(?)
.
Сюръективность:
(?)
Возьмем
,
поскольку
.
В силу произвольности
сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
Сохранение
операции сложения:
(?)
Сохранение
операции умножения:
(?)
Таким образом
доказано, что алгебра
изоморфна подалгебре
алгебры
,
следовательно,
изоморфно вкладывается в
.
что и требовалось доказать.
Замечание.
Поскольку полукольцо натуральных чисел
вкладываются в кольцо целых чисел, то
отождествим элементы
и
,
т.е. будем считать их (тождественно)
равными. Ввиду этого отождествления
получим
.
Строение кольца целых чисел.
Теорема 5.
,где
Доказательство.
Очевидно, что
.
Покажем обратное включение.
Возьмем произвольное
целое число
.
Тогда возможен один из следующих случаев:
1.
;
2.
;
3.
;
.
что и требовалось доказать.
Теорема 6. Кольцо целых чисел единственное.
(без доказательства)
Замечание. Теорема 6 доказывает категоричность системы целых чисел.
Положительный конус и его свойства.
Определение.
К≠{0} называется
упорядоченным кольцом, если существует
непустое подмножество Р≠
элементов кольца, называемое положительным
конусом, удовлетворяющим условиям
(аксиомам положительного конуса):
(1)
;
(2)
;
(3)
.
Теорема 7.
Если К
– упорядоченное кольцо с положительным
конусом Р,
то бинарное отношение <, определенное
на К по правилу
,
является строгим линейным порядком.
Доказательство.
Отношение - антирефлексивно (?)
(?)
Предположим, что
,
что противоречит аксиоме (1) положительного
конуса, следовательно, предположение
неверно.
Отношение - антисимметрично (?)
a<b
b<a
b=a
(?)
a<b
b<a
b–a,a–b
P
,
что противоречит
аксиоме (1) положительного конуса. Таким
образом, посылка импликации всегда
ложна, следовательно, импликация истинна.
Отношение - транзитивно (?)
a<b
b<с
a<с
(?)
a<b
b<с
b–a,с–b
P
a<c.
Отношение - линейно (?)
a<b
b<a
a=b
(?)
Пусть a,
b
K
, b
– a
K.
По аксиоме
(3) положительного конуса возможен один
из трех случаев:
b – a =0, a=b,
b – a P, a<b,
-(b – a)=a – b P, b<a.
что и требовалось доказать.