Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
На множестве натуральных чисел определим бинарное отношение по следующему правилу:
Теорема 3. Отношение на множестве натуральных чисел является строгим линейным порядком.
Доказательство.
Отношение - порядок на (?)
(антисимметричность)
(?)
.
Возможны случаи:
;
.
В обоих случаях получили противоречие с 1 аксиомой Пеано, следовательно, посылка импликации ложна, а, значит, сама импликация истинна.
(транзитивность)
(?)
.
Порядок - строгий (?)
(антирефлексивность)
(?)
Предположим, что
.
Возможны случаи:
;
.
В обоих случаях получили противоречие с 1 аксиомой Пеано, следовательно, предположение неверно.
Порядок - линейный (?)
(линейность)
(?)
Доказательство
проведем методом математической индукции
в І форме для натуральных чисел по
.
База индукции
:
Возможны случаи:
;
.
В обоих случаях дизъюнкция оказалась истинной.
Индуктивное
предположение
:
Покажем
справедливость утверждения для
:
(?)
Возможны случаи:
;
.
Возможны случаи:
,
;
.
что и требовалось доказать.
Свойства отношения :
1)
.
Доказательство.
.
2)
.
Доказательство.
.
3)
.
Доказательство.
.
4)
.
Доказательство.
.
5)
.
Доказательство.
.
6)
.
Доказательство.
.
7)
.
Доказательство.
возможны случаи:
противоречие
с условием
;
противоречие
с условием
;
.
Методом исключения получаем, что .
8)
.
Доказательство.
Предположим, что
.
Тогда возможны случаи:
;
.
В обоих случаях
получено противоречие с условием
,
следовательно, предположение неверно.
Определение.
Универсальная алгебра
называется полукольцом, если бинарные
операции + и
удовлетворяет следующим условиям:
1.
;
2.
;;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
.
Теорема 4.
- полукольцо.
Доказательство.
Сложение и умножение - операции на множестве натуральных чисел (теоремы 1,2). Доказательство аксиом полукольца смотри свойства указанных опреаций.
что и требовалось доказать.
Определим на
множестве натуральных чисел бинарное
отношение
по следующему правилу:
.
Теорема 5. Отношение на множестве натуральных чисел является линейным порядком (рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, линейно).
(доказательство самостоятельно).
Определение. Множество называется линейно упорядоченным, если на нем задано бинарное отношение линейного порядка.
Определение.
Полукольцо
называется линейно упорядоченным, если
множество
линейно упорядочено.
Теорема 6. Полукольцо натуральных чисел линейно упорядочено.
Доказательство.
Следует из теоремы 6.
Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
Определение.
Наибольшим элементом непустого
подмножества
линейно упорядоченного множества
называется элемент
такой, что
.
Определение.
Наименьшим элементом непустого
подмножества
линейно упорядоченного множества
называется элемент
такой, что
.
Теорема 7. Любое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент.
Доказательство.
Возможны случаи:
- наименьший
элемент подмножества;
.
Рассмотрим множество
.
,
т.к.
.
.
Такой элемент
обязательно найдется, т.к. в противном
случае
.
Покажем, что
наименьший в
.
.
Предположим, что
.
Тогда
.
Последнее противоречит условию
,
следовательно, предположение неверно.
Тогда
такой, что
.
Таким образом,
- наименьший в
.
что и требовалось доказать.
Теорема 8. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент.
Доказательство.
Пусть
ограничено сверху элементом
,
т.е.
.
Рассмотрим множество
.
,
т.к.
.
Тогда, по теореме 3,
имеет наименьший элемент
,
причем
,
т. к. в противном случае
.
По следствию 4) из аксиом Пеано,
.
Предположим, что
,
следовательно,
.
Последнее противоречит тому, что
- наименьший в
,
а, значит, предположение неверно. Тогда
.
Таким образом,
- наибольший в
.
что и требовалось доказать.