Архимедовская расположенность поля действительных чисел.

Теорема 5. Поле действительных чисел архимедовски расположенное, т.е. выполняется аксиома Архимеда: .

Доказательство.

Пусть . Последнее означает, что

- положительная, следовательно, .

- ф.п.р.ч., следовательно, - ограниченная, тогда следовательно, . Поскольку поле рациональных чисел архимедовски расположенное, .

.

что и требовалось доказать.

Теорема 6. Поле действительных чисел является всюду плотным.

Доказательство.

Пусть . Для определенности положим, что . Тогда - положительная, следовательно, . Поскольку , - ф.п.р.ч, имеем

. Возьмем . Учитывая выше изложенное, получим

что и требовалось доказать.

Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.

Теорема 7. т.т.т., к. , иными словами всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится в поле действительных чисел.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть . Возьмем такое, что , где (в силу фундаментальности последовательности ). Тогда . Согласно леммам 1, 2, имеем, что , следовательно, . Таким образом, .

Достаточность.

Пусть . Покажем, что - ф.п.р.ч.

. Поскольку между действительными числами и найдется положительной рациональное число . Тогда . Оценим , где :

. Таким образом, последовательность рациональных чисел фундаментальна, а, значит, порождает некоторый класс эквивалентности . Остается доказать, что . Возможны случаи:

1. .

Последнее противоречит условию , следовательно, данный случай невозможен.

2. .

Последнее противоречит условию , следовательно, данный случай невозможен.

3. . Единственно возможный случай.

что и требовалось доказать.

Следствие. Для того, чтобы последовательность рациональных чисел имела в поле действительных чисел предел необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.

Теорема 8. Любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в поле действительных чисел.

Доказательство.

Пусть - ф.п.д.ч., где :

Рассмотрим последовательность . Покажем, что она фундаментальна.

Последнее неравенство влечет фундаментальность последовательностей вида при фиксированном . Оценим теперь :

. Таким образом, последовательность фундаментальна. Докажем, что и есть предел последовательности . Пусть .

Последнее неравенство доказывает, что .

что и требовалось доказать.

Лекция 10. Поле комплексных чисел.

Возможны различные подходы к определению поля комплексных чисел.

Один из возможных заключается в следующем:

Определение. Полем комплексных чисел называется алгебраическое расширение поля действительных чисел, иначе, поле комплексных чисел наименьшее из полей, содержащее все алгебраические элементы над полем действительных чисел (т.е. все корни многочленов с действительными коэффициентами).

В этом случае , где - корень многочлена .

Другой подход основан на построении поля комплексных чисел как подкольца кольца квадратных матриц второго порядка над полем действительных чисел.

Рассмотрим множество . - кольцо. В этом кольце выбирается подмножество .

Теорема 1. - поле.

Доказательство.

Проверим, что подкольцо кольца , а, следовательно, само образует кольцо.

.

Нетрудно устанавливается, что в умножение коммутативно и ассоциативно.

Остается покакать, что в каждый ненулевой элемент обратим.

Пусть - обратима в . Тогда .

Таким образом, - поле.

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Поле действительных чисел изоморфно вкладывается в поле комплексных.

Доказательство.

Рассмотрим соответствие по правилу для всех .

Очевидно, что - всюдуопределено и однозначно, а, следовательно, - отображение.

- инъективное отображение.

Покажем, что - гомоморфизм.

Таким образом, - инъективный гомоморфизм, а, значит, изоморфно вкладывается в .

что и требовалось доказать.

Алгебраическая форма записи комплексного числа.

,

где .

Определение. - алгебраическая форма записи комплексного числа, причем единственная.

Предложение 1. для любого .

Определим действия сложения и умножения на множестве комплексных чисел, заданных в алгебраической форме:

Определение. Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число .

Свойства сопряженных комплексных чисел:

1. ;

2. ;

3. ;

4. т.т.т.,к. ;

5. для любого .

Определение. Нормой комплексного числа называется число .

Замечание. .

Свойства нормы:

1. ;

2. т.т.т.,к. ;

3. ;

4. если , то .

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Пусть .

Каждому комплексному числу ставится в соответствие точка в прямоугольной системе координат.

Если и , то . При этом .

Тригонометрическая форма записи комплексного числа возникает из геометрической интерпретации. Так, каждой точке можно поставить в соответствие радиус-вектор , который определяется длиной и направлением – углом отклонения от положительного направления оси .

Замечание. , , .

Таким образом . Последняя запись и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Предложение 2. Если , то для каждого .

Доказательство.

Пусть , . Тогда

. Последнее равенство и дает основание утверждать справедливость данной теоремы.

что и требовалось доказать.

Замечание. .