Поле действительных чисел.
Теорема 2.
-
поле.
Доказательство.
Поскольку операции сложения и умножения действительных чисел сводятся к операциям сложения и умножения рациональных, то нетрудно проверяется их ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.
(существование
0) (?)
Покажем, что класс
:
.
(существование
1) (?)
Покажем, что класс
:
.
(существование
противоположного)
(?)
Проверим, что
:
.
(существование обратного для каждого ненулевого) (?)
Поскольку
,
- ненулевая ф.п.р.ч., следовательно, либо
,
либо
положительны. Последнее влечет
.
Таким образом, среди членов последовательности
,
начиная с номера
нет
чисел, равных 0. Рассмотрим
- подпоследовательность последовательности
такую, что
.
Последовательность
не содержит нулевых членов. Зная, что
всякая подпоследовательность эквивалентна
данной последовательности, имеем
.
Тогда
.
Поскольку
ненулевая фундаментальная последовательность
рациональных чисел и среди ее членов
отсутствуют числа, равные 0,
является частным фундаментальных
последовательностей
,
а, значит тоже фундаментальна.
Проверим, что
:
.
что и требовалось доказать.
Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
Договоримся
обозначать поле действительных чисел
через
.
Теорема 3. Поле рациональных чисел вкладывается в поле действительных чисел.
Доказательство.
Рассмотрим множество
.
Нетрудно устанавливается, что
подполе поля
,
проверим только замкнутость.
замкнуто относительно сложения и умножения (?)
;
.
Рассмотрим
соответствие
заданное по правилу
,
где
-
класс, порожденный постоянной
последовательностью.
Докажем, что - изоморфизм.
- отображение (?)
Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого рационального числа можно построить класс .
Однозначность:
(?)
- биекция (?)
Инъективность:
(?)
- нулевая. Докажем
равенство
и
методом от противного. Предположим, что
.
Возможны случаи:
.
- положительная.
аналогично.
- отрицательная.
Таким образом, в
обоих случаях получено противоречие с
условием
- нулевая, а, значит
.
Сюръективность:
(?)
Возьмем
,
поскольку
.
В силу произвольности
сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
что и требовалось доказать.
Замечание 1.
Ввиду
изоморфизма, который отмечен в конце
доказательства, мы проведем отождествление
для каждого рационального числа. Ввиду
этого отождествления получим
(подмножество, более того, подполе).
Замечание 2. В одном классе лежат последовательности, имеющие одинаковые пределы.
Упорядоченность поля действительных чисел.
Теорема 4. Поле действительных чисел упорядоченное.
Доказательство.
Рассмотрим
подмножество
.
Нетрудно проверить аксиомы положительного
конуса для
.
Последнее справедливо, поскольку сумма и произведение положительных последовательностей также являются последовательностями положительными.
возможен один из
трех случаев:
,
,
.
что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Бинарное
отношение < на
,
определенное по правилу
является строгим линейным порядком и
удовлетворяет свойствам 1.-6. (см. теорему
об упорядоченных кольцах).
Следствие 2. Бинарное отношение на , определенное по правилу является линейным порядком.
Лемма 1.
Если
и
,
то
.
Доказательство.
- неотрицательная
ф.п.р.ч. Возможны случаи:
1.
- положительная.
Тогда
.
2. - нулевая.
Тогда
.
.
что и требовалось доказать.
Замечание.
Если
и
,
то
(например,
).
Лемма 2.
Если
и
,
то
.
Доказательство.
Проводится аналогично лемме 1.
что и требовалось доказать.
Замечание.
Если
и
,
то
.