билеты 1 сем / 55-60
.docxВысшая математика. 1 семестр. Билеты 55 - 60
55. Теорема Тейлора – Пеано
Применяется для приблизительного вычисления функции, когда достаточно узнать не величину погрешности, а только её порядок малости.
Пусть
имеет производные до n-го
порядка включительно в
.
Тогда формулу Тейлора можно представить
в виде:
при
,
или:
,
где бесконечно малую функцию
называют остаточным членом
в
форме Пеано.
56. Свойства функций, дифференцируемых в точке до n-го порядка включительно
Производная
высшего порядка
(порядка n):
,
где
;
(Дифференциал
высшего порядка:
);
Формула
Лейбница:
Если функции
и
n
раз дифференцируемы, то
(
– число сочетаний из n
элементов по k,
)
n-ные производные элементарных функций:
1)
1.1)
2)
3)
4)
5)
57. Вывод формул Тейлора для основных элементарных функций
:
;
:
;
:
;
:
;
;
:
;
;
58. Вычисление неопределённостей методом выделения главных частей. Пример
В
многочлене Тейлора
называют главной
частью
функции
в окрестности точки
.
Тогда, при вычислении предела главная
часть функции будет эквивалентна всей
функции:
при
.
Пример:
1) Разложим по Тейлору
;
2)
к обеим частям можно добавить –х: при
, или
,
что эквивалентно выражению
;
3)
подставляем:
59. Три теоремы Лопиталя. Замечания и примеры
Правило
Лопиталя:
Если предел отношения 2-х функций
представляет собой неопределённость
вида
или
,
то предел отношения этих функций равен
пределу отношения их производных.
Теоремы Лопиталя
Теорема
1:
Пусть
и
определены на
;
и
имеют производные на
;
;
Пусть
на
;
существует
;
Тогда выполняется равенство:
Доказательство:
по теореме Коши, где
– немая переменная
;
Пример:
Получается такой же ответ, как при
решении через ряд Тейлора.
Теорема
2:
Пусть
и
определены на
;
и
имеют производные на
;
;
Пусть
на
;
существует
;
Тогда выполняется равенство:
Доказательство:
Пример:
Теорема
3:
Пусть
и
определены на
;
и
имеют производные на
;
;
пусть
на
;
существует
;
тогда выполняется равенство:
Доказательство: Смотри доказательство теоремы 2.
Пример:
Примечание:
Правило Лопиталя можно применять к
пределу несколько
раз
и комбинировать с другими преобразованиями
при необходимости (если даже после
других преобразований остаётся
неопределённость
вида
или
).
60.
Теорема Штольца. Вычисление
.
Формула Стирлинга
Теорема
Штольца:
Пусть
и
- бесконечно большие последовательности.
Если существует предел
,
то существует предел отношения
,
равный ему:
Замечание:
Если
– бесконечно большая возрастающая
последовательность, а последовательность
тоже бесконечно большая и стремится к
бесконечности определённого знака, то
последовательность
бесконечно большая.
Пример:
по
Th. Штольца
, тогда
Формула Стирлинга:
При
факториал n
можно заменить на эквивалентную функцию:
