Математика:

1. Повторение (тригонометрия, точки разрыва, свойства логарифмов, формулы, прогрессия и т. д.)

2. Комплексные числа

3. Пределы

4. Производные

5. Построение графиков функции с помощью производных

6. Дифференциалы

7. Интегралы

8. Дифференциальные уравнения

9. Ряды

10. Таблицы (производные и интегралы, тригонометрия, формулы сокращённого умножения)

2. Комплексные числа

Мнимая единица (i или j) — число, квадрат которого равен “–1”, т. е.

Степени мнимой единицы:

Для преобразования мнимой единицы с более высокой степенью (т. е. , , … и т. д.), необходимо в уме разделить показатель единицы на 4 и найти остаток от деления. В соответствии с остатком выбрать результат:

← Остаток 1

← Остаток 2

← Остаток 3

← Нет остатка от деления на 4

Например:

Комплексные числа — числа вида

(в ТЭЦ комплексное число подчёркивается: ),

где z — само комплексное число,

a и b — действительные числа,

a — действительная часть комплексного числа,

jb — мнимая часть комплексного числа.

Комплексные числа имеют несколько форм представления. Одна из них — алгебраическая форма комплексного числа, описанная выше: .

Понятие сопряжённых комплексных чисел:

Сопряжённые комплексные числа — числа, отличающиеся знаком при мнимой части. (Сопряжённое комплексное число надчёркивается).

Например: сопряжённые комплексные числа (отличаются знаками “+” и “–”).

Если перемножить сопряжённые комплексные числа (см. далее о том, как перемножить комплексные числа), то получим, что

Действия над комплексными числами, выраженными в алгебраической форме:

Над комплексными числами в алгебраической форме можно производить следующие операции: сложение и вычитание, а также умножение и деление.

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел делается так же, как это делается с многочленами. Например:

Пусть имеется два комплексных числа: и , тогда:

При делении одного комплексного числа на другое в алгебраической форме необходимо и числитель, и знаменатель умножить на комплексное число, сопряжённое знаменателю (в данном случае домножаем на ). Таким образом в знаменателе мы избавляемся от мнимой единицы (см. выше, как перемножаются сопряжённые комплексные числа):

Можно отметить, что понятия отрицательных комплексных чисел нет, и комплексные числа не сравнивают. Они могут быть только равными, если коэффициенты a и b равны.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексное число можно изобразить на комплексной плоскости.

Если есть комплексное число , то тогда на плоскости оно выглядит так:

Поворот вектора комплексного числа на 90° в положительном направлении (против часовой стрелки) означает умножение этого числа на j, на 90° в отрицательном направлении (по часовой стрелке) — умножение числа на –j, а поворот на 180° — означает умножение комплексного числа на “–1”.

Тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел

На комплексной плоскости изображен вектор комплексного числа .

Модуль комплексного числа z:

Аргументом комплексного числа называется угол между действительной осью и вектором комплексного числа (см. диаграмму выше).

Из диаграммы выше видно, что

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Формулы Эйлера:

Показательная форма комплексного числа:

Действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня над комплексными числами удобнее всего производить в показательной форме.

Пусть имеется два комплексных числа: и .

При умножении модули умножаются, а аргументы складываются:

При делении модули делятся, а аргументы вычитаются:

При возведении в степень модуль возводится в степень, а аргумент умножается на степень.

Для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа используется формула:

,

где

— арифметический корень.

Ответ записывается несколько раз при , затем при и так далее до .

Не помешает запомнить, что:

Зная комплексные числа, можно извлекать корни из отрицательных чисел, например: