4,7. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие

Экстремума. Достаточное условие экстремума. Точка называется точкой локального максимума (соответственно локального минимума)функции z=f(x,y),если f( ) f(M) (соответственно f( ) f(M)) для M(x,y) в некоторой окрестности точки . Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.

Необходимое условие: Если -точка локального экстремума функции z=f(M)=f( )и в этой точке существуют частные производные ,то эти производные равны нулю: i=1,…,n.Точка называется критической (или стационарной)точкой функции z=f(M),если в этой точке существуют частные производные и все они обращаются в нуль: при I=1,…,n. Критические точки функции z=f(x,y) находятся из системы: .

Достаточные условия: Пусть функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки и пусть есть критическая точка,т.е. . Тогда

1)если H( )>0,то -точка локального экстремума,причем

1+)если ,то - точка локального минимума;

1-)а если ,то - точка локального максимума;

2)если H( )<0,то не является точкой локального экстремума (а является седловой точкой);

3)если H( ) =0 ,то экстремум в точке может быть, а может не быть и для исследования нужно привлекать производные третьего порядка.