Вынужденные колебания. Резонанс
Чтобы в реальной
системе получить незатухающие колебания,
надо компенсировать потери энергии с
помощью периодически действующей силы.
В случае механических колебаний и
вынуждающей силы
для пружинного маятника массой m
можем записать закон движения
. (4.25)
– упругая сила,
- сила трения,
– коэффициент сопротивления,
- циклическая частота и
,
выражение (4.25) превращается в
. (4.26)
Колебания, изменяющиеся под действием внешней периодически изменяющейся силы называются вынужденными механическими колебаниями.
Графически вынужденные колебания представлены на рис.4. 7.
рис. 4.7
В установившемся
режиме колебания происходят с частотой
и являются гармоническими, амплитуда
и фаза колебаний определяется выражениями
,
где
(4.27)
(4.28)
также зависит от .
Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты . При максимальном значении амплитуды смещения (выражение (4.28)) частота называется резонансной частотой и определяется
(4.29)
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой к собственной частоте колебательной системы, называются резонансом (рис. 4.8).
Подставив выражение (4.30) в (4.28) получаем значение амплитуды при резонансе
(4.30)
Явление резонанса может быть как вредным, так и полезным. В биологии действие излучений может быть полезно, например, при лечении микроволновым излучением (резонансная терапия) и т.д.
Рис.4.8
Таким образом, рассмотрены гармонические колебания и их характеристики, включая амплитуду и период. Графически гармонические колебания изображаются методом векторных диаграмм. Приведены закономерности, возникающие при сложении колебаний, условия появления биений и фигур Лиссажу. Рассмотрены вопросы затухания колебаний, введено понятие автоколебаний. Описаны вынужденные механические колебания. Определены условия резонанса.
14.
Уравнение бегущей волны. Фазовая и групповая скорости
Волна называется плоской или сферической в зависимости от того, какую форму имеет волновая поверхность.
Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.
Уравнение бегущей волны записывается в виде
(5.3)
является
периодической функцией времени и
координаты
.
В общем смысле уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
, (5.4)
– амплитуда волны,
- циклическая частота,
- начальная фаза волны,
- фаза плоской волны.
Волновое число
. (5.5)
Скорость перемещения фаз волны называется фазовой скоростью
(5.6)
Уравнение сферической волны, волновая поверхность которой имеет вид концентрических сфер
, (5.7)
– расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.
В этом случае фазовая скорость
(5.8)
Распространение волн в однородной изотропной среде описывается уравнением
. (5.9)
В биологии при раздражении нервных клеток для распространения потенциала действия справедливо одномерное волновое движение
(5.10)
-
потенциал действия. Волна возбуждения
проходит вдоль нервного волокна.
Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства
, (5.11)
групповая скорость – это скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени, локализованный в пространстве волновой пакет.
Связь между фазовой и групповой скоростью определяется
.
(5.12)
При выполнении
условия
= 0 групповая скорость волны совпадает
с фазовой.
15.