В сокращенной записи выражения (3) и (5) выглядят так:

, (6)

где - матрица-столбец падающих волн;

- матрица-столбец рассеянных волн;

- матрица рассеяния, порядок которой равен числу плеч многополюсника.

Матрицы-столбцы и удобно записывать в следующем виде:

где штрих обозначает операцию транспонирования.

Элемент матрицы есть коэффициент пропускания из плеча в плечо , если . При это есть коэффициент отражения от плеча . Таким образом, элементы матрицы , расположенные на главной диагонали, обозначают коэффициенты отражения, а внедиагональные элементы - коэффициенты пропускания.

Если , то плечо называют согласованным и при подаче сигнала в это плечо отражения от него отсутствуют.

Если и , то плечо и плечо называют взаимно развязанными и при подаче сигнала в плечо ( ) сигнал на выходе плеча ( ) отсутствует.

Если , но , то сигнал из плеча в плечо не поступает, но из плеча в плечо поступает. В этом случае имеет место односторонняя развязка.

Величины элементов матрицы рассеяния полностью определяются только внутренним устройством волноводного узла и не зависят от того, какие нагрузки и какие источники подключены к его плечам. В этом несомненное преимущество описания волноводных узлов -матрицей по сравнению с другими. В настоящее время -матрица является одним из основных инструментов анализа многополюсных волноводных узлов.

Многополюсники СВЧ можно классифицировать по различным физическим признакам: наличию или отсутствию в них источников электромагнитной энергии, больших или малых потерь активной мощности, взаимности, симметрии и др.

В соответствии с этим:

пассивным (активным) называется многополюсник, в котором отсутствуют (присутствуют) источники ЭМП;

линейным (нелинейным) называется многополюсник, на выходах которого амплитуды падающих и рассеянных волн связаны системой линейных (нелинейных) уравнений. Поэтому увеличение модуля комплексной амплитуды падающих на линейный многополюсник волн приводит к такому же увеличению амплитуд отраженных волн. В отличие от нелинейного многополюсника к линейному можно применять принцип суперпозиции;

взаимным (невзаимным) называется многополюсник, у которого ;

симметричным (несимметричный) называется многополюсник, у которого взаимная замена одних плеч (или групп плеч) другими не изменяет (изменяет) внешние характеристики многополюсника.

Рассмотрим свойства -матрицы многополюсников в зависимости от их классификации. При делении многополюсников на пассивные и активные следует использовать баланс суммарной активной мощности.

Мощность, которую переносят распространяющиеся к многополюснику волны, определяется выражением

(7)

Применительно к комплексному числу, например к знак * обозначает одно действие - комплексное сопряжение: . Однако применительно к матрице, составленной из комплексных чисел (элементов), знак * обозначает два действия: 1) комплексное сопряжение каждого элемента матрицы; 2) транспонирование матрицы. Например,

.

В целом такая операция (комплексное сопряжение каждого элемента и транспонирование матрицы) называется эрмитовым сопряжением и применяется для матричной записи выражений типа (7).

Мощность, переносимая отраженными (рассеянными) волнами, т.е. распространяющимися от многополюсника, по аналогии с выражением (7) равна

. (8)

Здесь учтено равенство (6) и то, что (эрмитово сопряжение включает в себя транспонирование, а при транспонировании матричного произведения сомножители меняются местами).

Найдем далее разность выражений (7) и (8):

, (9)

где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и . Возможны следующие случаи:

и (10)

. (11)

Так как при выполнении неравенства (10) отраженная мощность не превосходит падающую, то многополюсник будет пассивным. При выполнении неравенства многополюсник называется диссипативным (имеют место, например, тепловые потери активной мощности). Если же , многополюсник называется недиссипативным (реактивным).

Очевидно, для недиссипативного многополюсника выполняется матричное равенство

. (12)

Матрицы, удовлетворяющие этому равенству, называются унитарными. Унитарность -матриц широко используется в тех случаях, когда потерями активной мощности в многополюснике можно пренебречь. При выполнении неравенства (1.11) отраженная мощность превышает падающую и многополюсник будет активным.

Для взаимного многополюсника . При этом -матрица оказывается равной своей транспонированной. Такие матрицы называются симметрическими. Следовательно, взаимные многополюсники описываются симметрическими -матрицами.

Если матрица известна, т. е. известны все ее элементы, можно считать, что свойства данного многополюсника нам полностью известны. Поэтому часто задача сводится к отысканию -матрицы. Отыскание элементов возможно самыми различными способами, начиная от самых сильных и точных (например, решение уравнений электромагнитного поля (ЭМП) Максвелла для данного волноводного узла) и кончая весьма приближенными. Способы можно разделить на теоретические, экспериментальные и комбинированные (смешанные). На практике чаще всего используют комбинацию различных теоретических способов с экспериментальными.

При вычислении элементов широко используются также такие свойства многополюсников, как взаимность, недиссипативность, симметрия.

В качестве примера составим матрицу рассеяния для отрезка прямоугольного волновода длиной , который является четырехполюсником (2 плеча).

Его матрицу рассеяния в общем виде можно записать так:

.

Так как отрезок волновода является реактивным, линейным, пассивным и взаимным многополюсником, то его матрица рассеяния симметрична, то есть

.

Считаем, что плечи отрезка волновода согласованы. Тогда . Следовательно,

.

Учтем, что . В результате такого перемножения матриц получим или , то есть , где - аргумент комплексного числа . Тогда

.

Исходя из физических соображений, определим , как , где - коэффициент фазы. В этом случае матрица рассеяния отрезка волновода имеет следующий вид:

.

Зная матрицу рассеяния многополюсника и входные величины , можно определить выходные величины многополюсника по формуле (1.6).

Так, для отрезка волновода

,

, так как , а , то есть набег фазы в волноводе зависит от его длины .