1.4. Математичні моделі операцій

У математичних моделях задаються наступні компоненти:

 векторна змінна , що відповідає керованим параметрам;

 векторна змінна , що відповідає некерованим параметрам;

 множина допустимих значень векторної змінної ;

 множина допустимих значень векторної змінної ;

 цільова функція , що встановлює значення критерію ефективності.

Якщо відоме значення у, то математична модель є детермінованою, інакше – говорять про недетерміновану модель.

Детермінована модель

Нехай приймає значення , відоме нам. Введемо в цьому випадку позначення:

Тоді модель може бути записана в вигляді:

,

(1)

Цей запис означає, що необхідно знайти значення векторної змінної таке, при якому функція досягає мінімуму. Модель (1) називається задачею оптимізації.

Недетермінована модель

Якщо є векторною випадковою величиною з відомою імовірнісною мірою, то недетермінована модель називається стохастичною моделлю.

Якщо операція проводиться неодноразово і має значення середній результат, то математична модель має наступний вигляд:

,

.

Якщо операція проводиться одноразово, або не має значення середній результат (середня температура хворих, що знаходяться в реанімації; результат хірургічної операції для окремо взятого пацієнта; середнє відхилення від директивних термінів виконання), то модель може приймати вигляд:

,

.

Ці задачі називаються задачами стохастичної оптимізації.

Якщо не є випадковою величиною, або це випадкова величина з невідомою імовірнісною мірою, то маємо модель в умовах невизначеності. Така модель може приймати вигляд:

,

.

1.5 Задачі оптимізації - визначення

Надалі розглядатимемо тільки скінченновимірні задачі оптимізації, тобто задачі, допустимі множини X яких лежать в евклідовому просторі .

Точка називається точкою глобального мінімуму функції на множині X або глобальним рішенням задачі (1), якщо

(2)

Точка називається точкою локального мінімуму функції на множині X або локальним розв’язком задачі (1), якщо існує таке , що:

(3)

де - куля радіуса  з центром в .

Якщо нерівність в (2) або (3) виконується як строга при , то кажуть, що - точка строгого мінімуму (строгий розв’язок) в глобальному або локальному сенсі відповідно.

Задачу максимізації функції на множині записуватимемо у вигляді

,

(4)

Ясно, що задача (4) еквівалентна задачі

.

в тому сенсі, що множини глобальних або локальних строгих або нестрогих розв’язків цих задач відповідно співпадають. Це дозволяє без зусиль переносити твердження для задачі мінімізації на задачу максимізації і навпаки.

Точна нижня грань функції на , тобто величина називається значенням задачі (1).

Можливі три випадки:

a) і при деякому , тобто значення задачі скінчене і досяжне, при цьому ;

b) і при всіх , тобто значення задачі скінчене, але не досягається;

c) , тобто значення задачі нескінчене.

У випадку а) задача (1) має глобальний розв’язок, у випадках b) і с) - не має.